辽宁省抚顺市第五十五中学高三数学理测试题含解析

辽宁省抚顺市第五十五中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=（）A.1 B. C. D.5参考答案：A【分析】利用复数的乘法除法运算法则即可得出．【详解】因为，所以.故答案A【点睛】本题考查了复数的乘法除法以及求模的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.设点在的内部,且有,则的面积与的面积之比为（

）A．3

B．

C.2

D．参考答案：A如图，取中点，，则，∴，∵，∴，∴.

3.直线经过点，若可行域，围成的三角形的外接圆直径为，则实数n的值是A．3或6

B．4或5

C．3或5

D．3或4参考答案：答案：C4.定义在上的函数满足且时，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C由可知函数为奇函数，且，所以函数的周期为4，，，即，所以，因为，所以，所以，选C.5.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为(

) A．，3 B． C．，2 D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．解答： 解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴=，∴（）2=，，则C1的离心率==则C2的离心率：==故选：B．点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．6.求的值是(

)A、

B、

C、

D、参考答案：【答案解析】B解析：解：由题意可知，所以B正确.7.点到抛物线准线的距离为2，则的值为（

）A． B． C．或 D．或参考答案：C8.已知函数，若存在，使得恒成立，则的值是A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.若函数在上的导函数为，且不等式恒成立，又常数满足，则下列不等式一定成立的是（）。A．

B．

C．

D．.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）满足xf′（x）=（x﹣1）f（x），且f（1）=1，则f（x）的值域为．参考答案：（﹣∞，0）∪[1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系求函数的极值和单调性即可得到结论．【解答】解：∵xf′（x）=（x﹣1）f（x），∴f（x）+xf′（x）=xf（x）设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），即g′（x）=g（x），则g（x）=cex，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）=1，即g（1）=ce=1，则c=，则g（x）=xf（x）=?ex，则f（x）=，（x≠0），函数的导数f′（x）==，由f′（x）＞0得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，即当x=1时，函数f（x）取得极小值，此时f（1）==1，即当x＞0时，f（x）≥1，当x＜0时，函数f（x）单调递减，且f（x）＜0，综上f（x）≥1或f（x）＜0，即函数的值域为（﹣∞，0）∪[1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞），12.如果函数的图像关于点成中心对称，那么的最小值为

.

参考答案：13.已知函数f（x）＝则f（2＋log23）的值为_____.参考答案：14.如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ACD与△BCD是全等的等腰三角形，且平面ACD⊥平面BCD，AB=2CD=4，则该三棱锥的外接球的表面积为

．参考答案：考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解表面积．解答： 解：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF=BF，EF=2，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面积为．故答案为：．点评：本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题．15.的展开式中的常数项为_______.参考答案：-5

略16.动点在边长为1的正方体的对角线上从向移动，点作垂直于面的直线与正方体表面交于，，

则函数的解析式为

参考答案：17.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y+3的最大值是

．参考答案：9【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=x+y+1的最大值【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，三个顶点坐标为A（0，1），B（2，0），C（0.5，3）．由z的几何意义可知，当z过B时最大，所以zmax=3×2﹣0+3=9；故答案为：9．【点评】本题考查了简单线性规划问题，首先正确画出平面区域，然后根据目标函数的几何意义求最值．也可以利用“角点法”解之．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．（1）求证：∥平面；（2）若，求证：；（3）求四面体体积的最大值．

参考答案：（1）证明：因为四边形，都是矩形，

所以∥∥，．

所以四边形是平行四边形，……………2分

所以∥，

………………3分

因为平面，所以∥平面．

………………4分（2）证明：连接，设．因为平面平面，平面平面且，平面所以平面，………………5分又平面，所以．……6分

又，所以四边形为正方形，所以．

…………7分

因，所以平面，

………………8分

又，所以．

………………9分

（3）解：设，则，其中．由（2）得平面，所以四面体的体积为．

…………11分所以．

………………13分当且仅当，即时，四面体的体积最大．

……………14分

19.已知函数．（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）若函数在区间与上各有一个零点，求的取值范围．参考答案：略20.三棱柱A的直观图（图1）及三视图（图2）（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示，A为A的中点．（Ⅰ）求证：B1C⊥平面BAC1；（Ⅱ）求平面C1BA与平面C1BD的夹角的余弦值．参考答案：考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）先证明AB⊥平面C1B1BC，可得AB⊥B1C，利用BC1⊥B1C，即可证明：B1C⊥平面BAC1；（Ⅱ）补成正方体，得∠O1OS为二面角的平面角，即可求平面C1BA与平面C1BD的夹角的余弦值解答： 解：（Ⅰ）由三视图可知，几何体为直三棱柱．∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面C1B1BC，∴AB⊥B1C，…在正方形BB1C1C中，BC1⊥B1C，…又∵BC1?平面ABC1，AB?平面ABC1，BC1∩AB=B，∴B1C⊥平面ABC1．…（Ⅱ）如图补成正方体，得∠O1OS为二面角的平面角，，∴，∴平面C1BA与平面C1BD的夹角的余弦值为．…点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.已知函数（1）若，求实数的取值范围；（2）若,判断与的大小关系并证明.参考答案：（1）因为，所以.

①当时，得，解得，所以；②当时，得，解得，所以；③当时，得，解得，所以;

综上所述，实数的取值范围是.

…………5分（2），因为,所以…………10分22.已知函数．（1）求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；（2）讨论函数f(x)在上的单调性．参考答案：（1）最小正周期π，对称轴方程为，；（2）在区间上单调递增；在区