安徽省六安市众兴集中学高三数学理测试题含解析

安徽省六安市众兴集中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=sin(+)的图象可以由函数y=cos的图象经过（）A．向右平移个单位长度得到B．向右平移个单位长度得到C．向左平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数=sin（+）的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin（﹣+）=sin（+）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．2.经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点(a，b)与直线的位置关系是（

）A．

B．

C.

D．与100的大小无法确定参考答案：A3.集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：A4.已知i是虚数单位，且复数z满足，若z为实数，则实数a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，结合已知条件列出方程，求解即可得答案．【解答】解：=，∵z为实数，∴，即a=1．则实数a的值为：1．故选：D．5.一简单组合体的三视图如图，则该组合体的表面积为（）A．38B．38﹣2C．38+2D．12﹣π参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体，求出它的表面积即可．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体，且长方体的长为4，宽为3，高为1，圆柱的底面圆半径为1，高为1；所以该组合体的表面积为S长方体﹣2S底面圆+S圆柱侧面=2（4×3+4×1+3×1）﹣2×π×12+2×π×1×1=38．故选：A．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求组合体的表面积的应用问题，是基础题目．6.已知集合，则()A．A∩B＝?

B．A∪B＝R

C．

D．参考答案：B略7.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C8.执行右面的框图，若输出结果为，则输入的实数x的值是

A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则r=（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B【分析】通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和圆锥组成的几何体，利用几何体的体积求出的值.【详解】通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和圆锥组成的几何体，设组合体的体积为,所以，故本题选B.【点睛】本题考查了通过三视图识别组合体的形状，并根据体积求参数问题，考查了数学运算能力.10.执行右图所示的程序框图，则输出的n=A．3 B．4

C．5

D．6参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线l分别过函数y=ax，（a＞0且a≠1）于函数y=logbx，（b＞0且b≠1）的定点，第一象限的点P（x，y）在直线l上，则﹣﹣的最大值为﹣．参考答案：考点：基本不等式；对数函数的单调性与特殊点；直线的截距式方程．专题：不等式的解法及应用．分析：先由指数函数与对数函数的特殊点得到两定点的坐标，再由直线方程的截距式得到x与y满足的关系式，最后依据基本不等式即可求出式子的最大值．解答：解：由于函数y=ax，（a＞0且a≠1）与函数y=logbx，（b＞0且b≠1）的定点分别为（0，1），（1，0）故由截距式得到直线l的方程为x+y=1，又由第一象限的点P（x，y）在直线l上，则x+y=1，（x＞0，y＞0）则==（当且仅当即时，取“=”）故答案为．点评：本题考查利用基本不等式求最值问题，同时考查了基本初等函数的特殊点及直线的截距式方程，属于基础题．12.已知，，且，现给出如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；其中正确结论的序号是

．（写出所有正确的序号）

参考答案：②③⑥13.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点分别是、、、．若过原点的直线将该矩形分割成面积相等的两部分，则直线的方程是

．参考答案：4x-3y=014.已知平面向量，，且，则的值为

参考答案：115.底面半径都是且高都是的圆锥和圆柱的全面积之比为

▲

．参考答案：16.若实数满足，则的取值范围是__________．参考答案：如图，画出可行域，设写成表示斜率为-2的一组平行线，当直线过时，目标函数取得最小值，当直线过点时目标函数取得最大值，所以的取值范围是，故填：.考点：线性规划17.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为号，并按编号顺序平均分成10组（号，号，…，号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是______．参考答案：试题分析：因为是从50名学生中抽出10名学生，组距是10，

∵第三组抽取的是13号，

∴第七组抽取的为．考点：系统抽样三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1a2a3=8，S2n=3（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）（n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=nSn，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【分析】（Ⅰ）先根据等比数列的性质可求出a2的值，然后根据S2n=3（a1+a3+…+a2n﹣1）中令n=1可求出首项a1，从而求出公比，即可求出an的通项公式，（Ⅱ）先根据等比数列的求和公式求出Sn，再求出bn=nSn，根据分组求和和错位相减法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=8即a2=2∵S2n=3（a1+a3+…+a2n﹣1）∴n=1时有，S2=a1+a2=3a1从而可得a1=1，q=2，∴an=2n﹣1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn==﹣1+2n，∴bn=nSn=﹣n+n?2n，∴Tn=﹣（1+2+3+…+n）+1×2+2×22+3×23+…+n?2n，设An=1×2+2×22+3×23+…+n?2n，∴2An=1×22+2×23+…+（n﹣1）?2n+n?2n+1，两式相减可得﹣An=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1=﹣2+2n+1﹣n?2n+1=﹣2+（1﹣n）2n+1，∴An=2+（n﹣1）2n+1，∴Tn=﹣+2+（n﹣1）2n+1．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和以及错位相减法求和，以及等比数列的性质和通项公式，属于中档题．19.已知数列的前项和为，且满足：，

N*，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若存在

N*，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论.参考答案：解析：（Ⅰ）由已知可得，两式相减可得，即，又，所以当r=0时，数列为a,0,0……,0，……；当时，由已知，所以,于是由，可得，所以成等比数列，当时，。综上，数列的通项公式为：（Ⅱ）对于任意的，且，是否成等差数列，证明如下：当r=0时，由（Ⅰ），知，故对于任意的，且，7成等差数列；当时，，。若存在，使得成等差数列，则，，即，由（Ⅰ），知的公比，于是对于任意的，且，，从而，，即成等差数列。综上，对于任意的，且，成等差数列。20.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．参考答案：考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答： （本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…因AA1=AB，则AD⊥A1B…由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…得AD⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，所以AD⊥BC．…因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB?侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查，统计情况如下表所示.年龄[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)人数100150a200b50

已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列.（1）求a，b的值；（2）若将年龄在[30,50)内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”.现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率.参考答案：（1），；（2）【分析】（1）根据人数和为100及人数的等比关系列方程组求解即可；（2）在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，，利用列举法及古典概型的公式求解即可.【详解】（1）由题意得，解得，.（2）由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，.记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件.从这5人中抽取2人所有可能情况为，，，，，，，，，，共10种.符合事件的有，，，，，，，共7种.故所求概率为.【点睛】本题主要考查了统计的简单应用，考查了古典概型的求解，属于基础题.22.已知数列的各项均为正数，，且对任意，都有．数列前项的和.（1）若数列是等比数列，求的值和（7分）；（2）若数列是等差数列，求与的关系式（5分）；（3）当时，求证：是一个常数（6分）；参考答案：(1)由题意得：

1分

2分因为数列的各项均为正数，所以当时，，

4分当且时，

5分

6分

当时当时所以

7分(2)由题意得：

8分9分

10分

12分

（3）计算猜想

14分欲证明恒成立只需要证明恒成立

即要证明恒成立即要证明恒成立