导数选择题之构造函数法解不等式地一类题

(完整word版)导数选择题之构造函数法解不等式地一类题导数选择题之构造函数法解不等式的一类题一、单选题.定义在R上的函数f(x)的导函数为发(X),若对任意实数X,有r正>/(X),且f正+2018为奇函数,则不等式f(K)+201 <0的解集为A.(-叫0)B.9,+回C.〔…2D.(,+g)L ,f(x}.设函数1⑷是奇函数f仅)(KeR)的导函数*-1)=0,当乂<0时，f㈤〈丁，则使得fix)>0成立的X的取值范围是( )A.(-%-1)u©1)B.(-叫-1)u(-1.0)C.〔口,1)u(1,+9D.〔一1.Q)u位+9.定义在R上的偶函数千&)的导函数f1⑸，若对任意的正实数，，都有什㈤+肝，⑺<2恒成立，则使x不⑷-f⑴《i-1成立的实数的取值范围为()A.(-叫-1)U(1.+g)B.(-1,1)C.C-1,0)U(0,1)D.(>|x 11.已知函数『3定义在数集(-8.0)U(0,+⑹上的偶函数，当x>0时恒有肝&)A,且f⑵=0,则不等式>0的解集为()A.1-2,0)U⑥2)B.1-x,-2)U(2,+回C.(-%-2)U(0t2)D.(-2,0)U(2,+8).定义在1-1,+3)上的函数f(x)满足f'G)<1+cgx,fCO)=1,则不等式>sinx+x+1的解集为()A.cB. C. ；， D. 1.设定义在R上的函数¥=f(x)满足任意xeR都有4+2)=-f(x),且xFs.4时，有千&)〈丁，则f&O⑹、"(2017)।出20181的大小关系是( )A.2f(2018)<f(20l6)<4f(2017) B.2f(2018)>f(20l6)>4f(20l7)C.4f(2017)>2f(2018)>f(2016) D.4f(2017)<2f(2018)<f(2016)1.已知偶函数⑥满足2fG)+行上)>6一且f⑴=2,贝)A/的解集为A.印/^之或乂》* B.txl-1<x<1)C.txlx〈一1或x>1) D.txl-2<x<2}.定义在R上的函数fG)满足：f(x)>1-f(x)rf(0)=0rfr⑷是fa)的导函数,则不等式e¥60》靖-1(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(-X,-1)J@+8)B.(0,+8)C.1-8,口)U[1.+°°)D.(1,+8).已知定义在R上的函数Y= 的导函数为F&),满足>fG),且f(0)=2,则不等式>2E的解集为( )A.1.8,0)B.Q+g)C.(-00,2)D.⑵+g).定义在Q+M上的函数f(x)满足好G)+1>0.千⑵=-In2,则不等式4㈤+x>0的解集为A.(0,21n2.)B.(0,In2)C.(In2.+g)D.(In2").已知定义在©+6上的函数伙)满足好’&)T3<0，其中f'(x)是函数f<x)的导函数•若2f(m-2018)>(m-2018)f⑵，则实数n的取值范围为()A.(0,2018)B.(2018,*g)C.[2020.+g)D.(2018,2020).已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于VX£R,均有f(x)>f‘(x),则有()A. e2017f(- 2017)vf(0), f(2017)>e2017f(0) B. e2017f(- 2017)vf(0),f(2017)ve2017f(0)C. e2017f(- 2017)>f(0), f(2017)>e2017f(0) D. e2017f(- 2017)>f(0),f(2017)ve2017f(0).已知可导函数r<x)的定义域为{-g,0),其导函数f'G)满足xf'G)-2f3>0,则不等式f12017+x)-(x+2017)2f(-1)<。的解集为A.(-8,-2018)B.(-2018,-2017)C.(-2016.0)D.(-2017.0).函数fg是定义在区间a+2)上的可导函数，其导函数为F3,且满足xF(k)+2f3>0,则不等式&+2018)2f(x+201a)<14⑷的解集为( )A.(x|x>-2017)B.{x|x<-2017)C.{x|-2018<x<-2014)D.{x|-2018<x<0).已知函数产出;的导数是y=广⑷，若外FQ+g),都有上，«<2f3成立,则()A. ⑹> B.2f(1)<武C.4武<3f⑵D.4f(1)>f(2).已知函数千&)满足条件：当x>。时，千⑸+ ㈤>1,则下列不等式正确的是( )A. f(1)+3> 4f(幻 B. f(2) +3>4fC4)C. fCD*8< 9f(3) D. f⑵ +4<3f(4).定义在99上的函数f仅)，f'仪)是它的导函数，且恒有F(x)>f⑶■心口、成立.则有( )A.7利;)>十碌B.7哥+>2gs1-f⑴C.2f(：)<、你+D.V'3f(7)<f砾：.已知函数晨x)是偶函数,f<x)=g(x-2)，且当x*2时其导函数尸㈤满足仅-3>0若)<白<3,则()A.f价)<f⑶<f(log3a)B. f(3)<f(log3a)<千⑷)C.fjog？a)<f(3)<f(4a)D.f(log3a)<f(4e)<f⑶.设函数13是奇函数f(x)(xSR)的导函数，当_x>0时，皿千’㈤,3汉)，则使得U-4)f(x)>0成立的K的取值范围是()A. (-2,0)U(0,2)B. (-8.-2)U2+⑹C. (-2,0)U(2,+D.f-oo,-2)UCO,2)参考答案参考答案【解析】【分析】构造函数式幻;V，则得膜k）的单调性，再根据f仅）+201E为奇函数得10）,转化不等式为晨乳）＜g（0）,最后根据单调性性质解不等式.【详解】构造函数虱幻;7,贝产⑴:一?一＜°,所以式乂）在R上单独递减，因为f（K）+2018为奇函数,所以f（0）+2018=0 f（0）=-2018Tg（0）=-2018.因此不等式f（x）+2018cx＜0等价于自我）＜晨。），即X》o,选B.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如f'3＜,f(x)+f(x)<0构造g(x)=eKf(x),根据导数法则进行：如f'3＜f(>) ,7xf(x)+f(x)<。构造g(K)=xf(x)等2.Af、f'-x） ,. f（＞}【解析】分析：构造函数於）二—,首先判断函数的奇偶性，利用干（幻＜丁可判断M＜。时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.详解：设m’，则g（x）的导数为gW=—?一,f因为M40时，亡㈤<—,所以当X<。时，鼠（X）恒大于零，:.当X<。时，函数KQ=?为增函数，/ 、f：-G山；/、又：苧-X）二---二二二虱X）,函数式X）为定义域上的偶函数，当乂>o时，函数KQ=”:为减函数，f、ft-1）又..虱-1）二—p二。函数式由的图象性质类似如图，数形结合可得,不等式ftx）>0=x-g（x）>0,X>0 }X<0’■■或,.： ，,可得。<X<1或X<-1,使得「仅))0成立的X的取值范围是〔-8,7)U[0,1),故选A.点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的"形状〃变换不等式"形状〃；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.3.A【解析】【详解】分析：构造新函数膜X)二-x2,利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解.详解：设区⑺=-X2，则=2xf(x)+x2f1(x)-2x=x(2f(x)+xf1(x)-2),由已知当x>0时,grW=x(2f(x)+xfrW-2<0,.•喧(x)在(0.+g)上是减函数，又是偶函数，「电值)=铲-x也是偶函数，晨6=0,不等式dr(6-f⑴</-1即为JfG)-((fd)-1,即g(x)<g⑴,， .「，.•.，即k.i2」.故选A.

fix；点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式.解题关键是构造新函数.新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造.如式X）=肝3,晨注）二¥,久）=,式幻:fix；.B,.门外【解析】分析：设屋价二一「，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.详解：设式二—,所以乌川一一一,因为当工＞0时,有肝（x）-fV＞0恒成立,所以当x＞。时葭（x）＞0,所以取乂）在@+8）上递增,因为f（-黑）=f（x）,所以g[一G==二二一虱X）,所以晨X）是奇函数，所以g＜x）在（-叫0）上递增,因为f⑵=0,所以g⑵二苧二C,f（＞）当乂＞。时，f（X）＞。等价于丁＞°,所以屋口＞0=g⑵，所以乂＞2,f（＞）当m＜。时,f（x）＞0等价于丁＜。,所以晨圻＜0=g＜-2）,所以x＜-2,所以原不等式的解集为1-g.-2[U⑵+8],故选B.点睛：该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数的单调性与导数的符号的关系，得至厢应的结果，在求'＜。时的情况的时候，可以直接根据函数4）是偶函数求得结果..B【解析】分析：根据题意，设式。=f(x)-sinx-x,对其求导分析可得式x)在区间(-1,+⑹上递减，利用f(0)的值可得虱0〕的值，进而将原不等式转化为式。>式0),结合函数的单调性、定义域，分析可得答案.详解：根据题意,设式储=-Unx-x,则.'(x)=f(X)-COSX-1,又由函数«淀义在(・L*⑹上，且有<1+CO5X,则gGc)=f(X)-COSX-1<0,则虱xj在区间(-1.+8)上递减,若f(0)=1,贝！JgS)=fCO)-sin0-0=1,ftx)>sinx+k+Wf(x)-sinx-k>1=g(K)>g(0),则-1<x<0,即不等式的解集为(-1,0).故选：B.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数g&)=fix)・sin-x,并分析其单调性..C【解析】根据题意，函数y=线脑满足任意t匕睹B有+2)=-f(x)，则有+4)=-f(x+2)=f(x),则fix〕是周期为4的函数,则有fC20l6)=f⑷，f(2017)=f(1),f(201B)=f⑵，设松=-T,则导数为「、fix)■x-HDxf,G)- ,、f(xi， : ，又由明，- .,则有•'J'，、.。，则有,Z\_廷七)-4) 「⑵f⑷gG)=一一〈0,则函数虱x)在041上为减函数,则有g⑴>官⑵>g(4),即式1)，亍》丁，又由、f(2016；(2016)=f⑷， 3017】=f(1),f(201B)=f⑵ ,则有能017)>~,变形可得4f(2017)>"(2018]>f(2016),故选C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的"形状"变换不等式"形状"；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数..C【解析】【分析】构造函数F3)=臼G)-3公+1,由2f8+ >6可得F3在S,+M递增，结合奇偶性转化原不等式为>L从而可得结果.【详解】由fG)〉3-《得-3?M0,令F(x)-x3f(x)-3x2+1,F1(x)=2xf(x)+x2fd(x)-6x=xl?xf(x)+xf1(x)-dl,.一 。时，-：. 'r.递增，又--F(1)=f(l3-2=0,时,不等式「仅)>3-1等价于F(x)>F(1)\T6)是偶函数,，F6)也是偶函数,Ixl>1,可得K>1或X<-1,1所以f(M)〉3-，的解集为x>1或K<-1},故选C.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的"形状"变换不等式“形状"；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数..B【解析】【分析】构造函数1Q=exf(X)-(xeR),研究式由的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【详解】设q(x)-eKf(x)-eK,(KCR),贝加•s . ・、' -"---'I'■ :f'(x)>1-f(x)+f'(x)-1>0则且&)>0,y=式x)在定义域内单调递增；e阡G)> -1,glx)>-1,eCo)=e°f(o)-e°=-1g(x)>g(0),X>0则不等式的解集为s.+8)故选日【点睛】本题主要考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。【解析】分析：先构造函数式幻=V,再根据函数单调性解不等式.J\fix} 、,、f(X］一f(R)，g(0)=2详解：令虱幻二丁，因为宫&)二一7所以『(x)>2e^g(x)>e(0)=^x，g(0)=2因此解集为一:选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如f'（x）/函数常根据导数法则进行：如f'（x）/（X）+f（X）<。构造E(x)=eKf(x),xf()0<f(x)构造-T-，xf(x)+f(x)<0构造g(K)=xf3等【解析】【分析】构造函数晨幻=f（x）*Inx,可得g㈤二F㈤+卜°,晨幻在8t+8）上单调递增,原不等式等价于>展2）,利用单调性可得结果.【详解】设=f（X）+Inx,由xFG）+1>0可得旦3二f'6）十（〉0,所以晨乂）在（0,+8）上单调递增，又因为g⑵=f⑵+In2=0,不等式K㈤+X>0等价于g（eO=f（eK）+k>0=g⑵,因此d>2,Ax>In2,即等式',- 的解集为I」■，故选C.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的"形状〃变换不等式"形状〃；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.11.D【解析】【分析】… 门号根据题意，构造函数人⑹二一J,x£(0,+3),利用导数研究其单调性，可得hj)在(0,+⑹上单调递f(m-^018)f⑵减,将2fM-2018)>(m-2018)f⑵,m-2018>0,转化为』-初―>亍，即h制-2018)》h⑵，从而可得实魏的取值范围.【详解】-xf(x)-f(X)・•・函数在(0,+8)上单调递减■ ；8I ，：,■ .I.

f(m-2018)f⑵m-2018;石一，即h(n»-2018)>h12)..•.m-2018<2且m-2018>0,解得2018<m<2020.「•实数m的取值范围为⑵18,2020).故选D.【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题彳主往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用"xf'fx)- £0〃和1rl f(>)n2f(m-2018)>(m-2018)f⑵”的联系构造函数卜㈤=~T~【解析】【分析】构造函数fGt) ,、fl*：构造函数丁，由＞尸&)可得函数目W=1在R上单调递减，利用单调性可得结果.【详解】构造函数虱Q阳构造函数虱Q阳g'G)丁，则,f■Gt)-fGt)因为外eR，均有％)>f,Cx)，并且/>Q.一,(x)<0,f\f'-Q故函数式6="在R上单调递减，--g(-2017)>gC0Xg(20l7)<g(0),f(-2017)、f(2017),…、即中-刎？〉f⑹，产？,''口，

BPe2017f（-2017）＞f（Q）,f（2017）＜e2017fM,故选D.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的"形状"变换不等式"形状"；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.13.B【解析】【分析】构造函数式幻二子，将不等式转化为晨2017+*）＜膜-1）,再根据贝乂）定义域以及单调性化简求解.【详解】■■£(X)—午(x)-2xf(x)■■£(X)—x4 : 二 ： <x4因为1:(2017+x)-(x+2017)2fC-1)<0,所以(2017+*)，(2017+x}-(2017+x)2g(-1)<0,因为「•在•u.单调递减，

2017+x<0 2017+x<0 / /讣7(2017*X)<g(-1)卜。17+X>-1 -2018<\"2017,选B【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如<《)构造《0构造式幻="⑷，xf(x)<f3构造Ixf(X)+ftx)<。构造g(K)=xf(x)等【解析】分析：由题意构造函数〃心=x¥(x).求导可知函数是区间9,+8)上的增函数，把原不等式转化为X*2018<4，结合父*2018>。求得X的范围.详解：-/[x2f(xn-=2行Ck)+x2f1(xj=x[2f(x)+xf(x)],xfr(x)+2f(x)>0,x>0,[k4(k)1>。，则函数〃X)=是区间9.+8)上的增函数.由不等式&+2018)^(x+2018)<f⑷，得x+2018<4,解得乂<-2014,又由X+2018>0,得x>-2018,即■b：「.故选C.点睛：该题考查的是有关解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性，构造新函数，结合题意求得对应的不等式的解集..D【解析】分析：由题意构造函数必)=:&>口)，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.详解：令小)=**>°),r、f'G)K/一x2kd'G)-2f(x)则：g,(x)= / =—/一,由八eS.+8］，都有小3<成立,可得，60<0在区间S.+8)内恒成立,即函数式X)是区间Q+8)内单调递减，f.l)f⑵据此可得：gd)>否⑵,即下>V,则4f⑴〉f⑵.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效..C【解析】【分析】令二- -，得到.在 递增，有云：工③，从而得到答案.【详解】构造函数g(x)=x2fCx)-X2.g(x)=2x-(fQ)+?'fW-1))。在xE(0,+8)恒成立，:.g(x)在。+8)上是增函数，•：1<3g(1)<式3)得f。)+8《歼(3),故选C.【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g(x)=x2f(x)-X2是解题的关键，属中档题..D【解析】【分析】：先构造y=fG)-f«,tan工的原函数y二fWcosx,由此题意，得出原函数f(x兀网单增函数,由此判断函数值的大小。【详解】：先构造y=f(x)-f3•t的x的原函数，因为xE似；)，贝ksx>0,那么在不等式的两边同时乘以msx不等号不变/CfGO-fWtanx)co&x=f(x)co$x-千(x)binx=[f(x)cobx]d>。，所以原函数gGO=f(x)cosx单增函数,由此热<心)〈虱-<心),g(?=净中,sfe)=当今,e(7)=；呜)，£1)=f⑴C81,所以'' …；,所以a错招<虱1尸丁㈢<31吊尸/千㈢<2CO81 f（1）,所以B错g5<屈呼⑷<争（*第…呜），所以C错故选Do【点睛】:已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数，（2）还原抽象函数,利用抽象函数的性质求解。.B【解析】分析：先根据函数图象的平移，得到函数f 的图象关于直线*=2对称，再通过讨论导数的符号得到函数fa）的单调性，将4"1*3日