高考数学总复习3.3热点专题-导数综合应用的热点问题市赛课公开课一等奖省名师获奖

§3.3热点专题——导数综合应用热点问题热点一利用导数研究函数性质综合问题利用导数研究函数单调性、极值和最值均是高考命题重点内容，在选择题、填空题和解答题中都有包括．主要有以下两种考查形式：1/42(1)研究详细函数单调性、极值或最值，常包括分类讨论思想．(2)由函数单调性、极值或最值，求解参数值或取值范围．【例1】

(·成都模拟)已知关于x函数f(x)＝lnx＋a(x－1)2(a∈R)．(1)求函数f(x)在点P(1，0)处切线方程；(2)若函数f(x)有极小值，试求a取值范围；(3)若在区间[1，＋∞)上，函数f(x)不出现在直线y＝x－1上方，试求a最大值．2/423/424/425/426/42【方法规律】

函数性质综合问题难点是函数单调性和极值、最值分类讨论．(1)单调性讨论策略：单调性讨论是以导数等于零点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数符号，在不能确定导数等于零点相对位置时，还需要对导数等于零点位置进行讨论．7/42(2)极值讨论策略：极值讨论以单调性讨论为基础，依据函数单调性确定函数极值点．(3)最值讨论策略：图象连续函数在闭区间上最值讨论，是以函数在该区间上极值和区间端点函数值进行比较为标准进行，在极值和区间端点函数值中最大为最大值，最小为最小值．8/429/4210/42故函数f(x)单调递增区间是(0，1)和(a－1，＋∞)，单调递减区间是(1，a－1)．③当0＜a－1＜1，即1＜a＜2时，在区间(0，a－1)和(1，＋∞)上，f′(x)＞0；在区间(a－1，1)上，f′(x)＜0，故函数f(x)单调递增区间是(0，a－1)和(1，＋∞)，单调递减区间是(a－1，1)．④当a－1≤0，即a≤1时，在区间(0，1)上，f′(x)＜0，在区间(1，＋∞)上，f′(x)＞0，故函数f(x)单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0，1)．11/42热点二利用导数研究方程根或函数零点问题这类试题普通以含参数三次式、分式、以e为底指数式或对数式及三角式结构函数零点或方程根形式出现，是近几年高考命题热点，普通有两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根个数问题．(2)应用函数零点、图象交点及方程解存在情况，求参数值或取值范围问题．12/4213/4214/4215/42令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝(axlna＋bxlnb)′＝ax(lna)2＋bx(lnb)2，从而对任意x∈R，h′(x)＞0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上单调增函数．于是当x∈(－∞，x0)时，g′(x)＜g′(x0)＝0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞g′(x0)＝0.因而函数g(x)在(－∞，x0)上是单调减函数，在(x0，＋∞)上是单调增函数．下证x0＝0.16/4217/42【方法规律】

对于方程解个数(或函数零点个数)问题，可利用函数值域或最值，结合函数单调性、草图确定其中参数范围．18/42变式训练2．(·济南模拟)已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a值，并求此时f(x)在[－2，1]上最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a取值范围．19/42【解析】

(1)函数f(x)定义域为R，f′(x)＝ex＋a，f′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1，∴f′(x)＝ex－1.∵在区间(－∞，0)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减；在区间(0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴在x＝0处，f(x)取得极小值，∴a＝－1.20/4221/42∴当a＞0时，函数f(x)存在零点，不满足题意．②当a＜0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，解得x＝ln(－a)．在区间(－∞，ln(－a))上，f′(x)＜0，f(x)单调递减；在区间(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴当x＝ln(－a)时，f(x)取得最小值．函数f(x)不存在零点等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋a·ln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)＞0，解得－e2＜a＜0.总而言之，实数a取值范围是(－e2，0)．22/42热点三利用导数处理不等式问题利用导数处理不等式问题是近几年高考热点，常包括不等式恒成立、证实不等式及大小比较问题．(1)不等式恒成立问题普通考查三次式、分式、以e为底指数式或对数式、三角式及绝对值结构不等式在某个区间A上恒成立(存在性)，求参数取值范围．(2)证实不等式普通是证实与函数相关不等式在某个范围内成立．23/42(3)大小比较问题，普通是作差后不易变形定号三次式、分式、以e为底指数式或对数式、三角式结构，可转化为用导数研究其单调性或最值函数问题．角度一不等式恒成立问题【例3】

(·西安八校联考)已知函数f(x)＝m(x－1)ex＋x2(m∈R)．(1)若m＝－1，求函数f(x)单调区间；(2)若对任意x＜0，不等式x2＋(m＋2)x＞f′(x)恒成立，求m取值范围．24/42【解析】

(1)当m＝－1时，f(x)＝(1－x)ex＋x2，则f′(x)＝x(2－ex)，由f′(x)＞0得，0＜x＜ln2，由f′(x)＜0得x＜0或x＞ln2，故函数f(x)单调递增区间为(0，ln2)，单调递减区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞)．25/4226/4227/4228/4229/4230/42【方法规律】

求解不等式恒成立时参数取值范围问题，普通惯用分离参数方法，不过假如分离参数后对应函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采取直接结构函数方法求解．31/4232/42(2)已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)．①求函数f(x)在点(0，f(0))处切线方程；②求函数f(x)单调递增区间；③若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然对数底数)，求实数a取值范围．33/4234/4235/4236/42(2)①对f(x)求导，得f′(x)＝axlna＋2x－lna，可得f′(0)＝0.因为f(0)＝1，所以函数f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝1.②由①知，f′(x)＝axlna＋2x－lna＝2x＋(ax－1)·lna.因为当a＞0，a≠1时，总有f′(x)在R上是增函数，又f′(0)＝0，所以不等式f′(x)＞0解集为(0，＋∞)，37/42故函数f(x)单调递增区间为[0，＋∞)．③因为存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1