中考数学复习第六章空间与图形6.2图形的相似试卷市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

§6.2图形相同中考数学

(广西专用)1/96考点一相同与位似相关概念五年中考A组-年广西中考题组五年中考1.(贵港,8,3分)以下命题中真命题是

()A.

=(

)2一定成立B.位似图形不可能全等C.正多边形都是轴对称图形D.圆锥主视图一定是等边三角形答案

C选项A中,

=|a|,(

)2=a,而|a|=±a,所以

=(

)2不一定成立,故为假命题;选项B中,位似图形位似比为1时,即为全等图形,故B为假命题;选项C中,正多边形一定是轴对称图形,故为真命题;选项D中,当圆锥底面直径与母线不相等时,其主视图不是等边三角形,故D为假命题.故选C.2/962.(百色,17,3分)如图,已知△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心位似图形,且

=

,若点A(-1,0),点C

,则A'C'=

.

答案

3/96解析由位似可知,

=

=

,且

=

,A(-1,0),C

.解法一:AC=

=

,∴A'C'=2AC=

×2=

.解法二:∵A(-1,0),C

,且位似比为

=2,∴A'(-2,0),C'(1,2).∴A'C'= =

.4/963.(玉林,21,6分)如图,在平面直角坐标系网格中,将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.(1)△A1B1C1与△ABC位似比是

;(2)画出△A1B1C1关于y轴对称△A2B2C2;(3)设点P(a,b)为△ABC内一点,则依上述两次变换后,点P在△A2B2C2内对应点P2坐标是

.

5/96解析(1)位似比是2∶1.(2)画出△A2B2C2如图所表示.

(3)(-2a,2b).6/964.(南宁,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点坐标分别是A(2,2),B(4,

0),C(4,-4).(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到△A1B1C1;(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来

,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2正弦值.

7/96解析(1)△A1B1C1为所求作三角形.

(3分,正确作出一个点给1分)(2)△A2B2C2为所求作三角形.

(6分,正确作出一个点给1分)

依据勾股定理得:A2C2=

=

,∴sin∠A2C2B2=

=

.

(8分)8/96考点二相同三角形性质与判定1.(玉林,6,3分)两三角形相同比为2∶3,则其面积之比是

()A.

∶

B.2∶3C.4∶9

D.8∶27答案

C∵相同三角形面积比等于相同比平方,由相同比为2∶3,得其面积比等于4∶9,

故选C.思绪分析

依据相同三角形性质:相同三角形面积比等于相同比平方即可得出结果.9/962.(贵港,10,3分)如图,在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则S△ABC=

()

A.16

B.18

C.20

D.24答案

B∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,又AB=3AE,∴

=

,∴

=

=

,∵S四边形BCFE=16,∴

=

,∴S△AEF=2,∴S△ABC=16+2=18.故选B.10/963.(桂林,12,3分)如图,在平面直角坐标系中,M,N,C三点坐标分别为

,(3,1),(3,0),点A为线段MN上一个动点,连接AC,过A作AB⊥AC交y轴于点B,当点A从M运动到N时,点B随之运

动,设点B坐标为(0,b),则b取值范围是

()

A.-

≤b≤1

B.-

≤b≤1C.-

≤b≤

D.-

≤b≤111/96答案

B连接CN,延长NM交y轴于D.∵M

,N(3,1),C(3,0),∴MN∥x轴,且NC⊥MN,MN⊥y轴,又AB⊥AC,∴∠ADB=∠BAC=∠ANC=90°,∴∠DAB=∠ACN(同角余角相等).∴△ABD∽△CAN,∴

=

,令A(a,1)

,则AD=a,AN=3-a,NC=1,BD=1-b,∴

=

,即b=a2-3a+1=

-

.故当a=

时,b最小,为-

.当a=3时,b最大,为1.∴-

≤b≤1,故选B.12/964.(钦州,11,3分)如图,AD是△ABC角平分线,则AB∶AC等于

()

A.BD∶CD

B.AD∶CDC.BC∶AD

D.BC∶AC13/96答案

A如图,过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,

∵BE∥AC,∴∠DBE=∠C,∠E=∠CAD.∴△BDE∽△CDA.∴

=

.又AD是角平分线,∴∠E=∠DAC=∠BAD.∴BE=AB.∴

=

.∴AB∶AC=BD∶CD.14/965.(桂林,7,3分)以下命题中,是真命题是

()A.等腰三角形都相同

B.等边三角形都相同C.锐角三角形都相同

D.直角三角形都相同答案

B依据相同三角形定义:对应角相等,对应边比相等,可知只有B选项正确.15/966.(梧州,11,3分)如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠DCA=30°,AC=

,AD=

,则BC长为

.

答案2或516/96解析如图,过D作DE∥AC交BC于E.

则有∠DEC=90°,∠CDE=30°,令EC=x(x>0),则DE=

x.∵DE∥AC,∴△BED∽△BCA,∴

=

=

=

=x,由

=x得BE(1-x)=x2,当x=1时,DE=

=AC,不符合题意,故x≠1.∴BE=

.17/96由

=x得BD=

,在Rt△BDE中,BD2=BE2+DE2,∴

=

+(

x)2,整理得18x2-27x+10=0,∴(3x-2)(6x-5)=0,解得x1=

,x2=

.∴EC=

或

,BE=

或

.∴BC=2或5.18/967.(梧州,18,3分)如图,点C为Rt△ACB与Rt△DCE公共点,∠ACB=∠DCE=90°.连接AD、

BE,过点C作CF⊥AD于点F,延长FC交BE于点G,若AC=BC=25,CE=15,DC=20,则

值为

.

答案

19/96解析如图所表示,过E作EP⊥FG于P,过B作BQ⊥FG交FG延长线于Q,

∵∠DCE=∠DFC=∠EPC=90°,∴∠DCF=∠CEP,∴△DCF∽△CEP,∴

=

=

=

,同理可得△ACF∽△CBQ,又AC=BC=25,20/96∴△ACF≌△CBQ,∴BQ=FC,∴

=

,又EP⊥FG,BQ⊥FG,∴QB∥EP,∴△EPG∽△BQG,∴

=

=

.21/968.(柳州,18,3分)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC中点,BE交CD于点O,连接DE,有以下

结论:

①DE=

BC;②△BOC∽△COE;③BO=2EO;④AO延长线经过BC中点.其中正确是

.(填写全部正确结论编号)答案①③④22/96解析∵D,E分别是AB,AC中点,∴DE是△ABC中位线,∴DE=

BC且DE∥BC,∴△DOE∽△COB,∴

=

=

,即BO=2EO,连接AO并延长交BC于N,AO交DE于点M.由DE∥BC可得△ADM∽△ABN,△DMO∽△CNO,

=

=

,

=

=

=

,∴

=

,∴BN=CN,即N为BC中点.∴①③④结论均正确,②中结论无法证实.思绪分析

由D,E分别为AB,AC中点得DE为△ABC中位线,得到DE=

BC及DE∥BC,进而得到相同三角形,利用相同三角形对应边成百分比推出相关结论.23/969.(贺州,18,3分)在矩形ABCD中,∠B平分线BE与AD交于点E,∠BED平分线EF与DC

交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=

(结果保留根号).

答案6

+324/96解析延长EF,BC交于点G.

∵在矩形ABCD中,∠B平分线BE与AD交于点E,∴∠ABE=∠AEB=45°,∴AB=AE=9.在Rt△ABE中,BE=9

.又∵∠BED平分线EF与DC交于点F,∴∠BEG=∠DEF.∵AD∥BC,∴∠G=∠DEF.∴∠BEG=∠G.∴BG=BE=9

.由∠G=∠DEF,∠GFC=∠EFD,可得△GFC∽△EFD,25/96∴

=

=

=

.设CG=x,则DE=2x,AD=9+2x=BC.∵BG=BC+CG,∴9

=9+2x+x.解得x=3

-3,∴BC=9+2(3

-3)=6

+3.思绪分析

延长BC,EF交于点G,由角平分线性质和矩形性质可求BG=BE=9

,再由△GFC∽△EFD得CG∶DE=1∶2,列方程求解即可.解题关键

利用矩形对边平行性质,结构相同三角形,得到CG与DE数量关系,再结合BE=

BG=BC+CG进行计算是解题关键.26/9610.(崇左,25,10分)一块材料形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它

加工成正方形零件如图①,使正方形一边在BC上,其余两顶点分别在AB,AC上.(1)求证:△AEF∽△ABC;(2)求这个正方形零件边长;(3)假如把它加工成矩形零件如图②,问这个矩形最大面积是多少?

27/96解析(1)证实:∵四边形EFHG为正方形,∴BC∥EF.∴△AEF∽△ABC.(2)∵四边形EFHG为正方形,∴EF∥BC,EG∥AD.设EG=EF=x,则KD=x,AK=80-x,∵△AEF∽△ABC,∴

=

.即

=

.解得x=48.所以这个正方形零件边长是48mm.(3)设EG=KD=x,则AK=80-x.∵△AEF∽△ABC,∴

=

,28/96即

=

,∴EF=120-

x.∴矩形面积S=x

=-

x2+120x=-

(x-40)2+2400,故当x=40时,矩形面积最大,最大面积为2400mm2.思绪分析

(1)依据正方形对边平行得到BC∥EF,利用“平行于三角形一边直线截其

他两边或其它两边延长线,得到三角形与原三角形相同”求证.(2)设EG=EF=x,用x表示

AK,由△AEF∽△ABC得

=

,即可计算正方形边长.(3)设EG=KD=x,依据△AEF∽△ABC用x表示出EF,再依据矩形面积公式求解即可.方法技巧

(1)相同三角形对应高比等于相同比;(2)最值问题普通能够转化为二次函数最值

来处理.29/96B组—年全国中考题组考点一相同与位似相关概念1.(黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上点,DE∥BC,点F为

BC边上一点,连接AF交DE于点G.则以下结论中一定正确是

()

A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

C依据平行线分线段成百分比定理可知

=

,

=

,

=

,

=

,所以选项A、B、D错误,选项C正确.故选C.30/962.(甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,

=

,则

=

.

答案

解析∵四边形ABCD与四边形EFGH位似,∴△OEF∽△OAB,△OFG∽△OBC,∴

=

=

,

=

=

.31/963.(安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度小正方形组成10×10网格中,已知

点O,A,B均为网格线交点.(1)在给定网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来2倍,得到线段A1B1(点A,B对

应点分别为A1,B1).画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1.画出线段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2为顶点四边形AA1B1A2面积是

个平方单位.

32/96解析(1)线段A1B1如图所表示.

(3分)

(2)线段A2B1如图所表示.

(6分)(3)20.

(8分)提醒:依据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为

=2

,∴以A,A1,B1,A2为顶点四边形AA1B1A2面积为(2

)2=20(个平方单位).33/96考点二相同三角形性质与判定1.(新疆乌鲁木齐,7,4分)如图,在▱ABCD中,E是AB中点,EC交BD于点F,则△BEF与△

DCB面积比为

()

A.

B.

C.

D.

答案

D∵四边形ABCD是平行四边形,E是AB中点,∴

=

=

,∴

=

,

=

,∴

=

.34/962.(湖北黄冈,5,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上高,CE为AB边上中

线,AD=2,CE=5,则CD=

()

A.2

B.3

C.4

D.2

答案

C在Rt△ABC中,因为CE为AB边上中线,所以AB=2CE=2×5=10,又AD=2,所以BD=8,

易证△ACD∽△CBD,则CD2=AD·DB=2×8=16,所以CD=4,故选C.35/963.(安徽,8,4分)如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC长为

()

A.4

B.4

C.6

D.4

答案

B由AD是中线可得DC=

BC=4.∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,∴△ADC∽△BAC,∴

=

,∴AC2=BC·DC=8×4=32,∴AC=4

,故选B.评析

本题考查了相同三角形判定与性质,及三角形中线,属轻易题.36/964.(云南,5,3分)如图,已知AB∥CD,若

=

,则

=

.

答案

解析∵AB∥CD,∴∠A=∠C,∠B=∠D,∴△AOB∽△COD.∴

=

=

.37/965.(安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD内部,点E在边BC上,满足△

PBE∽△DBC.若△APD是等腰三角形,则PE长为

.答案3或

解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在△ABD中,由勾股定理可得BD=

=10,∵AB<AD,∴依据△PBE∽△DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相同可得

=

=

⇒PE=

;当AP=PD时,P点为BD中点,∴PE=

CD=3,故答案为3或

.思绪分析

依据AB<AD及已知条件先判断P点在线段BD上,再依据等腰三角形腰情况分两

种情况:①AD=PD=8;②AP=PD,再由相同三角形中对应边比相等求解即可.难点突破

判断P点在线段BD上是解答本题突破口.38/966.(云南,3,3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC上点,若DE∥BC,

=

,则

=

.

答案

解析∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴

=

=

.39/967.(江苏南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,AC∥BD.EF是△ODB中位

线,且EF=2,则AC长为

.

答案

解析∵EF是△ODB中位线,∴OE=

OD=

,EF∥BD,∵AC∥BD,EF∥BD,∴AC∥EF,∴

=

,∴

=

,∴AC=

.40/968.(江西,14,6分)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC平分线,BD交

AC于点E.求AE长.

解析∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠D,△ABE∽△CDE.∴∠CBD=∠D,

=

.∴BC=CD.∵AB=8,CA=6,CD=BC=4,∴

=

,∴AE=4.41/96思绪分析

依据角平分线性质和平行线性质求出∠D=∠CBD,进而可得BC=CD=4,经过△

ABE∽△CDE,得出含AE百分比式,求出AE值.方法总结

证实三角形相同常见方法:平行于三角形一边直线与其它两边或其延长线

相交,所组成三角形与原三角形相同,相同基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图

所表示.在应用时要善于从复杂图形中抽象出这些基本图形.42/969.(陕西,20,7分)周末,小华和小亮想用所学数学知识测量家门前小河宽.测量时,他们

选择了河对岸岸边一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在岸边选择了点B,使得AB与河

岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共

线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所表示.请依据相关测量信息,求河宽AB.

43/96解析∵CB⊥AD,ED⊥AD,∴∠ABC=∠ADE=90°.∵∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE,

(3分)∴

=

.

(5分)∵BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.∴

=

,∴AB=17m.∴河宽AB为17m.

(7分)44/96思绪分析

首先依据∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE判定△ABC∽△ADE,再依据相同三角形

性质得出

=

,进而可求得AB值.方法指导

解与三角形相关实际应用题时应注意事项.①审题:结合图形通读题干,第一时

间锁定采取知识点,如:观察题图是否含有已知度数角,假如含有,考虑利用锐角三角函数

解题.假如仅包括三角形边长,则采取相同三角形性质解题.②筛选信息:因为实际问题文

字阅读量较大,所以筛选有效信息尤为关键.③结构图形:只要是与三角形相关实际问题都会

包括图形结构,假如题干中给出了对应图形,则可直接利用所给图形进行计算,必要时可添

加辅助线;若未给出图形,则需要经过②中获取信息结构几何图形进行解题.45/9610.(福建福州,25,12分)如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=

,在AC边上截取AD=BC,连接BD.(1)经过计算,判断AD2与AC·CD大小关系;(2)求∠ABD度数.

46/96解析(1)∵AD=BC=

,∴AD2=

=

.∵AC=1,∴CD=1-

=

,∴AD2=AC·CD.(2)∵AD2=AC·CD,AD=BC,∴BC2=AC·CD,即

=

.又∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC.∴

=

.又AB=AC,∴BD=BC=AD.47/96∴∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC.设∠A=∠ABD=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x,∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°.∴∠ABD=36°.评析

本题主要考查是相同三角形性质和判定、等腰三角形性质、三角形内角和定

理应用,证得△ABC∽△BDC是解题关键.48/96C组教师专用题组考点一相同与位似相关概念1.(玉林,7,3分)△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'位似比是1∶2,已知△

ABC面积是3,则△A'B'C'面积是

()A.3

B.6

C.9

D.12答案

D∵△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'位似比是1∶2,△ABC面

积是3,∴△ABC与△A'B'C'面积比为1∶4,则△A'B'C'面积是12.思绪分析

利用位似图形面积比等于位似比平方,进而得出答案.评析本题主要考查了位似图形性质,利用位似图形面积比等于位似比平方求解.49/962.(天津,16,3分)如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,则

DE长为

.

答案

解析∵DE∥BC,∴

=

,∴

=

,∴

=

,∴DE=

.评析

本题考查平行线分线段成百分比定理.由DE∥BC可得

=

,从而可计算出DE长.50/963.(辽宁沈阳,14,4分)如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC面积等于△

DEF面积

,则AB∶DE=

.

答案2∶3解析∵△ABC与△DEF位似,∴△ABC∽△DEF,∴

=

.∵S△ABC=

S△DEF,∴

=

.∴

=

,∴

=

(舍负),即AB∶DE=2∶3.51/964.(柳州,21,6分)如图,以原点O为位似中心,把△OAB放大后得到△OCD,求△OAB与△

OCD相同比.

解析∵△OAB与△OCD是位似图形,∴△OAB∽△OCD.由题图得OB=4,OD=6,∴OB∶OD=4∶6=2∶3.∴△OAB与△OCD相同比为2∶3.52/965.(宁夏,20,6分)在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点坐标分别为A(2,-4),B(3,-2),C(6,-

3).(1)画出△ABC关于x轴对称△A1B1C1;(2)以M点为位似中心,在网格中画出△A1B1C1位似图形△A2B2C2,使△A2B2C2与△A1B1C1相

似比为2∶1.

53/96解析(1)如图所表示.

(3分)(2)如图所表示.

(6分)

54/96考点二相同三角形性质与判定1.(河北,15,2分)如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中虚线剪下,剪下

阴影三角形与原三角形

是

()55/96答案

C选项A与B中剪下阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角

形与原三角形相同;选项D中剪下阴影三角形与原三角形有两边之比都是2∶3,且两边夹

角相等,所以两个三角形也是相同,故选C.评析

本题考查相同三角形判定,熟练掌握三角形相同判定方法是处理问题关键.56/962.(内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD

边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC交点为F,则△CEF面积为

()

A.

B.

C.2

D.4答案

C在题中第三个图中,AD=6,AB=4,DE=6,因为BF∥DE,所以△ABF∽△ADE,所以

=

,即

=

,解得BF=4,所以CF=2,所以S△CEF=

CE·CF=2.57/963.(山东临沂,18,3分)如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上中线,BD与CE相交于点

O,则

=

.

答案2解析连接DE,∵BD,CE是AC,AB边上中线,∴DE为△ABC中位线,∴DE=

BC,DE∥BC,∴△OBC∽△ODE,∴

=

=2.58/964.(河池,18,3分)如图,菱形ABCD边长为1,直线l过点C,交AB延长线于点M,交AD延

长线于N,则

+

=

.

答案1解析∵四边形ABCD是菱形,∴CD∥AM,BC∥AN,∴△NDC∽△NAM,△MCB∽△MNA.∴

=

,

=

,∵菱形ABCD边长为1,∴

=

,

=

,∴

+

=

+

=1,故答案为1.59/96思绪分析

由菱形性质得BC∥AN,DC∥AM,所以△NDC∽△NAM,△MCB∽△MNA,即可求

解.60/965.(柳州,18,3分)如图,AD是△ABC高,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若BC=

3,AD=2,EF=

EH,那么EH长为

.

答案

解析设EH与AD交于点M.由题意得AM⊥EH,∵四边形EFGH是矩形,∴EH∥BC,∴△AEH∽

△ABC,∴

=

,设EH=3x,则有EF=2x,AM=AD-EF=2-2x,∴

=

,解得x=

,则EH=

.思绪分析

易知△AEH∽△ABC,再利用相同三角形性质列方程,求解.方法技巧

灵活应用相同三角形判定与性质,得到EH与AD关系是解题关键.61/966.(湖北武汉,23,10分)在△ABC中,P为边AB上一点.(1)如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB;(2)若M为CP中点,AC=2.①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP长;②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP长.图1图2图362/96解析(1)证实:∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,∴△ACP∽△ABC.

(2分)∴

=

,∴AC2=AP·AB.

(3分)(2)①解法一:延长PB至点D,使BD=PB,连接CD.

∵M为CP中点,∴CD∥MB.∴∠D=∠PBM,

(4分)∵∠PBM=∠ACP,∴∠D=∠PBM=∠ACP.63/96由(1)得AC2=AP·AD,

(5分)设BP=x,则22=(3-x)(3+x).解得x=

(舍去负根),即BP=

.

(7分)解法二:取AP中点E,连接EM.

∵M为CP中点,∴ME∥AC,EM=

AC=1.

(4分)∴∠PME=∠ACP,∵∠PBM=∠ACP,∴∠PME=∠PBM.由(1)得EM2=EP·EB,

(5分)64/96设BP=x,则12=

·

.解得x=

(舍去负根),即BP=

.

(7分)②BP=

-1.

(10分)65/967.(江苏连云港,25,10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3

CD.过点D作DH∥AB,交BC延长线于点H.(1)求BD·cos∠HBD值;(2)若∠CBD=∠A,求AB长.

66/96解析(1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90°,∵∠ACB=∠DCH,∴△ABC∽△DHC,∴

=

.∵AC=3CD,BC=3,∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.在Rt△BHD中,cos∠HBD=

,∴BDcos∠HBD=BH=4.

(4分)(2)解法一:∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD,∴△ABC∽△BHD.

(6分)∴

=

.∵△ABC∽△DHC,∴

=

=

,∴AB=3DH.∴

=

,DH=2,∴AB=6.

(10分)解法二:∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,∴△CDB∽△BDA.67/96∴

=

,BD2=CD·AD,∴BD2=CD·4CD=4CD2.∴BD=2CD.

(6分)∵△CDB∽△BDA,∴

=

,∴

=

,∴AB=6.

(10分)68/96考点一相同与位似相关概念三年模拟A组—年模拟·基础题组1.(桂林一模,8)如图,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心位似图形,若

OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'面积比为

()

A.4∶9

B.2∶5

C.2∶3

D.

∶

69/96答案

A∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似,且OA∶OA'=2∶3,∴其面积比为22∶32=4∶

9.故选A.70/962.(贵港一模,20)如图,在6×8网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和△ABC顶点

均为小正方形顶点.(1)在图中△ABC内部作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且位似中心为点O,位似比为1∶2;(2)连接(1)中AA',则线段AA'长度是

.

71/96解析(1)△A'B'C'如图所表示.

(2)易知AA'=

=

.72/96考点二相同三角形性质与判定1.(柳州柳北模拟,11)已知两个相同三角形周长比为2∶3,它们面积之差为40cm2,那

么它们面积之和为

()A.108cm2

B.104cm2

C.100cm2

D.80cm2

答案

B∵两个相同三角形周长比为2∶3,∴其相同比为2∶3,∴其面积比为4∶9.设两个三角形面积分别为4xcm2,9xcm2,∴9x-4x=40,∴x=8.∴9x+4x=13x=13×8=104.故它们面积之和为104cm2.故选B.73/962.(柳州一模,7)如图,在▱ABCD中,点E在边AD上,射线CE、BA交于点F,以下等式成立

是

()

A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

74/96答案

C在▱ABCD中,AB∥CD且AB=CD,∴△AEF∽△DEC.∴

=

,又∵AB=CD,∴

=

.故C正确.75/963.(柳州二模,8)以下四个选项中三角形,与题图中三角形相同是

()

答案

B设网格中小正方形边长为1,则题图中三角形三边长分别为

,2

,

,选项B中三角形三边长分别为2,4,2

,则

=

=

,由“三边对应成百分比两个三角形相似”可知这两个三角形相同,故选B.76/964.(博白一模,11)如图,Rt△ABC和Rt△DCA中,∠B=∠ACD=90°,AD∥BC,AB=2,DC=3,则△

ABC与△DCA面积比为

()

A.2∶3

B.2∶5

C.4∶9

D.

∶

答案

C∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC,又∵∠B=∠ACD=90°,∴△CBA∽△ACD,∴

=

=

,∵AB=2,DC=3,∴

=

,∴

=

=

,故选C.77/96思绪分析

由AD∥BC,得∠ACB=∠DAC,证得△ABC∽△DCA,再由面积比等于相同比平

方,即可求解.评析本题考查了相同三角形判定与性质以及平行线性质,经过证实三角形相同得出面

积比等于相同比平方是解题关键.78/965.(河池三县市三校联考,15)已知AB∥CD,AD与BC相交于点O,若

=

,AD=15,则AO=

.

答案10解析∵AB∥CD,∴△OCD∽△OBA,∴

=

=

,∴

=

,∴AO=

×AD=

×15=10.79/966.(桂林二模,17)如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上点,且DE∥AC,AE、CD相交于

点O,若S△DOE∶S△COA=1∶16,则S△BDE∶S△CDE等于

.

答案1∶3解析∵DE∥AC,∴△DOE∽△COA,△BDE∽△BAC.∴

=

=

,∴

=

,∴

=

=

,∴

=

.∴

=

=

,即S△BDE∶S△DCE=1∶3.80/967.(柳州一模,18)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则以下正确结论序号是

.①AB·AC=AD·BC;②AB2=BD·BC;③AD2=DB·DC;④△ACD与△ABC面积比为(sin∠B)2.

答案①②③④81/96解析∵S△ABC=

BC·AD=

AB·AC,∴AB·AC=AD·BC,结论①正确;∵∠ABD=∠CBA,∠ADB=∠CAB=90°,∴△ABD∽△CBA,∴

=

,∴AB2=BD·BC,结论②正确;∵∠ACD=∠BCA,∠ADC=∠BAC=90°,∴△ACD∽△BCA.∵△ABD∽△CBA,∴△ACD∽△BAD,∴

=

,∴AD2=DB·DC,结论③正确;∵△ACD∽△BCA,82/96∴∠CAD=∠B,

=

=(sin∠CAD)2=(sin∠B)2,结论④正确.故答案为①②③④.评析

本题考查了相同三角形判定与性质、解直角三角形以及求三角形面积.83/968.(柳州一模,23)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC中点,CE与DF相交于点G.(1)求证:CE⊥DF;(2)若AB=2,求四边形AEGD面积.

84/96解析(1)证实:由题意知DC=CB,CF=BE,∠DCF=∠B,故Rt△DCF≌Rt△CBE,所以∠DFC=∠CEB,

(2分)又因为∠CEB=∠DCG,则∠DCG=∠DFC,所以△DCG∽△DFC,所以∠DGC=∠DCF=90°,所以CE⊥DF.

(4分)(2)由(1)知△DCG∽△DFC,DC=AB=2,CF=1,DF=

,所以

=

=

,

(6分)因为S△DFC=

×1×2=1,所以S△DCG=

S△DFC=

,

(7分)四边形AEGD面积S=S正方形ABCD-S△CEB-S△CDG=4-1-

=

.

(8分)85/96B组—年模拟·提升题组(时间:20分钟分值:26分)一、选择题(每小题3分,共6分)1.(贵港二模,9)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点P.BP

=3,PE=1,那么△BDP面积为

()

A.3

B.3

C.

D.

86/96答案

C取CE中点F,连接DF,因为AB=AC,AD⊥BC于D,所以BD=CD,即D为BC中点,从

而DF为△BCE中位线,则DF∥BE,且DF=

BE=

(BP+PE)=2,由DF∥BE得△APE∽△ADF,则

=

=

,∴AP=PD,∵∠BDP=∠AEP=90°,∠BPD=∠APE,∴△BDP∽△AEP,∴

=

,即PD2=BP·PE=3×1=3,∴PD=

,∴BD=

=

,∴S△BDP=

BD·PD=

×

×

=

.87/962.(南宁二模,12)锐角△ABC中,BC=6,S△ABC=12,两动点M,N分别在边AB,AC上滑动,且MN∥

BC,MP⊥BC,NQ⊥BC得矩形MPQN.设MN长为x,矩形MPQN面积为y,则y关于x函数图象

大致形状是

()

88/96答案

B如图,作AD⊥BC于D,交MN于点E.

∵MN∥BC,∴AE⊥MN,△AMN∽△ABC.∴