广东省茂名市电白第四中学高三数学理模拟试卷含解析

广东省茂名市电白第四中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）在△ABC中，a，b，c分别是三内角A、B、C的对边，A=75°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为（）A．B．C．D．参考答案：考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由三角形内角和定理算出B=60°，从而得到角C是最小角，边c是最小边．再由正弦定理的式子，结合题中数据解出c=，即可得到此三角形的最小边长．解答：∵△ABC中，A=75°，C=45°，∴B=180°﹣（A+C）=60°，得角C是最小角，边c是最小边由正弦定理，得，解之得c=即三角形的最小边长为故选：C点评：本题给出三角形两个角及第三个角的对边，求三角形中最小的边长，着重考查了三角形内角和定理、大角对大边和正弦定理等知识，属于基础题．2.若，则向量与的夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为,延长交双曲线右支于点，若,则双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知函数，若过点A（0,16）的直线方程为，与曲线相切，则实数的值是

（

）

A．

B．

C．6

D．9参考答案：D略5.已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为

(

)A.1

B.2

C.

D.参考答案：B略6.是的（

）条件A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分又不必要参考答案：A7.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2] C． D．（0，2]参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（a）≤2f（1）化为：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（a）=f（﹣log2a）=f（log2a），则f（log2a）+f（a）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题．8.已知直线及与函数图象的交点分别为A、B，与函数的交点分别为C、D，则直线AB与CD

（

）

A、平行

B、相交，且交点在第三象限

C、相交，且交点在第四象限

D、相交，且交点在原点参考答案：D9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.已知为R上的连续函数，其导函数为，则关于x的函数的零点个数为（

）A.0

B.1

C.2

D.0或2参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a、b为两非零向量，且满足|a|＝2|b|＝|2a+3b|，则两向量a、b的夹角的余弦值为

。参考答案：-7/8略12.在中，角、、的对边分别为、、，是的中点，，，则面积的最大值为

．参考答案：13.若x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是．参考答案：[﹣3，0]【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的范围．【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，由解得A（0，3）、由解得B（0，）、由解得C（1，1）；结合函数的图形可知，当直线y=x﹣z平移到A时，截距最大，z最小；当直线y=x﹣z平移到B时，截距最小，z最大所以z=x﹣y在A点取得最小值，在C点取得最大值，最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；所以z=x﹣y的范围是[﹣3，0]．故答案为：[﹣3，0]14.某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理奖的6位华人的姓名，为此出了一份考卷。该卷共有6个单选题，每题答对得20分，答错、不答得零分，满分120分。阅卷完毕后，校方公布每题答对率如下：则此次调查全体同学的平均分数是

分。参考答案：66假设全校人数有人，则每道试题答对人数及总分分别为

一二三四五六答对人数每题得分所以六个题的总分为，所以平均分为。15.在△ABC中，边AC=1，AB=2，角，过A作AP⊥BC于P，且，则λμ=

．参考答案：考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：建立坐标系，用坐标表示向量，求出点P的坐标，代入，求出λ、μ的值，即得结果．解答： 解：建立坐标系，如图，；设点P（x，y），则=（x，y），∵=（2，0），||=1，∠CAB=，∴=（﹣，）；∴=﹣=（﹣，）；又∵⊥，∴﹣x+y=0①；与共线，∴（x﹣2）﹣（﹣y）=0②；由①②组成方程组，解得x=，y=，∴=（，）；又∵，∴（，）=λ（2，0）+μ（﹣，）=（2λ﹣μ，μ），即，解得，∴λμ=×=；故答案为：．点评：本题考查了平面向量的线性运算以及向量垂直和共线等问题，是综合性题目．16.已知函数f（x）=alog2x﹣blog3x+2，若f（）=4，则f（2014）的值为．参考答案：0考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数性质和对数性质求解．解答：解：∵函数f（x）=alog2x﹣blog3x+2，∴f（）=﹣b+2=﹣alog22014+blog32014+2=4，∴f（2014）=alog22014﹣blog32014+2=﹣2+2=0．故答案为：0．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．17.已知圆,直线上动点,过点作圆的一条切线,切点为,则的最小值为_________.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图是某小区2017年1月到2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：

残差平方和0.0005910.000164总偏差平方和0.006050

（1）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2018年6月份购买该小区平方米的二手房（欲购房者为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（ⅰ）估算该购房者应支付的金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）（ⅱ）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）附注：根据相关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款）征收方式见下表：契税（买方缴纳）首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为1.5%；面积144平方米以上或非首套为3%增值税（卖方缴纳）房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为5.6%；其他情况免征个人所得税（卖方缴纳）首套面积144平方米以内（含144平方米）为1%；面积144平方米以上或非首套均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征

参考数据：，.参考公式：相关数据参考答案：（1）见解析；（2）分析：（1）由所给数据计算出，比较可得；（2）由（1）中较好的模型预测出均价，然后分类计算购房金额，可得结论．详解：（1）设模型和的相关指数分别为和，则，，所以模型拟合的效果好.（2）由（1）知模型拟合的效果好，利用该模型预测可得，这个小区在2018年6月份的在售二手房均价为万平方米设该购房者应支付的购房金额为万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以①当时，契税为计税价格的，故；②当时，契税为计税价格的，故；③当时，契税为计税价格的故；所以点睛：本题考查线性回归直线的应用，考查相关系数，解题中只要利用所给公式计算即可，属于基本题．19.将单位圆经过伸缩变换：φ：（λ＞0，μ＞0）得到曲线C：=1（1）求实数λ，μ的值；（2）以原点O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，将曲线C上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）?表示为对应极角θ（0≤θ＜2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换．【分析】（1）由题意可知实数λ，μ的值，（2）求出极坐标方程，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：（1）由：φ：（λ＞0，μ＞0）得到曲线C：=1，即为（）2+（）2=1∴，（2），故当时，ρmin=．20.（本小题满分12分）在△ABC中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小.参考答案：21.已知函数，其中是自然对数的底数，．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求的单调区间；（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）因为，所以，

所以曲线在点处的切线斜率为.

又因为，所以所求切线方程为，即．

（2），①若，当或时，；当时，.所以的单调递减区间为，；单调递增区间为.

②若，，所以的单调递减区间为.③若，当或时，；当时，.所以的单调递减区间为，；单调递增区间为.

（3）由（2）知，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极小值，在处取得极大值.

由，得.

当或时，；当时，.

所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.

故在处取得极大值，在处取得极小值.

因为函数与函数的图象有3个不同的交点，

所以，即.

所以.略22.（本题满分13分）已知点的坐标分别为，，直线相交于点,且它们的斜率之积是（I）求点的轨迹方程；（II）过点作两条互相垂直的射线，与点的轨迹交于两点.试判断点到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由.参考答案：【知识点】轨迹方程．H9（I）

;（II）为定值解析：（Ⅰ）解：，由题可得

............（4分）

所以点M的轨迹方程为

................（6分）

（Ⅱ）点O到直线AB的距离为定值

，设,①当直线AB的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线OA：

将代入，解得

所以点O到直线AB的距离为；

...................（8分）

②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为与

联立消去得