四川省宜宾市仙临中学高三数学文上学期摸底试题含解析

四川省宜宾市仙临中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若幂函数的图象经过点，则它在点A处的切线方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：2.已知函数的最小正周期为，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：由题意知，，∴.故选A．考点：正弦型函数的性质．3.数列{an}满足a1=，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）且Sn=++…+，则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是（）A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，2}参考答案：A【考点】数列递推式．【分析】数列{an}满足a1=，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）．可得：an+1﹣an=＞0，可得：数列{an}单调递增．可得a2=，a3=，a4=.=＞1，=＜1．另一方面：=﹣，可得Sn=++…+=3﹣，对n=1，2，3，n≥4，分类讨论即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足a1=，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）．可得：an+1﹣an=＞0，∴an+1＞an，因此数列{an}单调递增．则a2﹣1=，可得a2=，同理可得：a3=，a4=．=＞1，=＜1，另一方面：=﹣，∴Sn=++…+=++…+=﹣=3﹣，当n=1时，S1==，其整数部分为0；当n=2时，S2=+=1+，其整数部分为1；当n=3时，S3=++=2+，其整数部分为2；当n≥4时，Sn=2+1﹣∈（2，3），其整数部分为2．综上可得：Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．故选：A．4.如图，虚线部分是平面直角坐标系四个象限的角平分线，实线部分是函数y=f（x）的部分图象，则f（x）可能是（）A．x2sinx B．xsinx C．x2cosx D．xcosx参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数图象的特征，判断函数的解析式即可．【解答】解：由函数的图象可知函数是偶函数，排除选项A，D，因为x＞0时，xsinx≤x恒成立，x2cosx≤x2，即xcosx≤x，x=π时，不等式不成立，所以C不正确，B正确；故选：B．5.设满足约束条件，则目标函数的最大值是

A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为A．＜x＜1

B．x＞且x≠1

C．x＞1D．0＜x＜1

参考答案：B解：因为，解得x＞且x≠1．由logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，Tlogx(2x3＋x2－x)＞logx2T或．解得0＜x＜1或x＞1．所以x的取值范围为x＞且x≠1．7.已知为虚数单位，复数满足，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A，故选A．8.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，，则的值是A．24

B．48

C．60

D．72参考答案：B9.已知a，b∈R，且ex+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3 B．e3 C．e3 D．e3参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】分a＜0、a=0、a＞0三种情况讨论，而a＜0、a=0两种情况容易验证是否恒成立，在当a＞0时，构造函数f（x）=aex+1﹣a2x来研究不等式ex+1≥ax+b恒成立的问题，求导易得．【解答】解：若a＜0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且ex+1≥ax+b对x∈R恒成立，则a≥0．若a=0，则ab=0．若a＞0，由ex+1≥ax+b得b≤ex+1﹣ax，则ab≤aex+1﹣a2x．设函数f（x）=aex+1﹣a2x，∴f′（x）=aex+1﹣a2=a（ex+1﹣a），令f′（x）=0得ex+1﹣a=0，解得x=lna﹣1，∵x＜lna﹣1时，x+1＜lna，则ex+1＜a，则ex+1﹣a＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）递减；同理，x＞lna﹣1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）递增；∴当x=lna﹣1时，函数取最小值，f（x）的最小值为f（lna﹣1）=2a2﹣a2lna．设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），g′（a）=a（3﹣2lna）（a＞0），由g′（a）=0得a=，不难得到时，g′（a）＞0；时，g′（a）＜0；∴函数g（a）先增后减，∴g（a）的最大值为，即ab的最大值是，此时．故选：A．10.设x、y满足约束条件，若z=x2+y2，则z的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，若函数在区间（0，1）上单调递增，且方程的根都在区间内，则b的取值范围是

．参考答案：12.阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数为

．参考答案：513.如图，已知椭圆C1的中点在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.，若存在直线l，使得BO∥AN，求椭圆离心率的取值范围_____________．参考答案：因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设14.已知，直线，，则直线的概率为

．参考答案：由已知，若直线与直线垂直，则，使直线的，故直线的概率

15.已知，，，且与垂直，则实数的值为

.参考答案：16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

，表面积为

．参考答案：40，．判断几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．解：几何体是放倒的三棱柱去掉两个三棱锥后的几何体，底面是边长为4，8的矩形，两个侧面都是等腰梯形上、下底边长为8，4；两侧是全等的等腰三角形，底边长为4，三角形的高为：=．等腰梯形的高为：=．几何体的体积为+2×=40几何体的表面积为：S=4×8++2×=32+16，故答案为：40，．17.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，是BC的中点，F是CC1上一点.（1）当时，证明：B1F⊥平面ADF；（2）若，求三棱锥的体积.参考答案：（1）见解析（2）试题分析：（1）证明与两线垂直，利用线面垂直的判定定理得出平面；（2）若，则，可求，即可求三棱锥体积.试题解析：（1）证明：因为是的中点，所以，在直三棱柱中，因为底面，底面，所以,因为，所以平面，因为平面，所以.在矩形中，因为，所以，所以，所以,（或通过计算，得到为直角三角形）所以，因为，所以平面.（2）解：因为平面，,因为是的中点，所以，在中，,所以，因为，所以，所以，所以，所以.19.（12分）如图，AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A、B的动点，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，F是DE的中点．（Ⅰ）求证：OF∥平面BCE；（Ⅱ）平面ADE⊥平面BCE．参考答案：【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明OF∥平面BCE；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BCE．证明：（Ⅰ）取CE的中点G，连接FG，BG，∵F为DE的中点，∴FG∥CD且FG=CD，∵ABCD为矩形，且O为AB的中点，∴OB∥CD，且OB=CD，∴OB∥FG，且OB=FG，∴OFGB为平行四边形，∴OF∥GB，∵OF?平面BCD，GB?平面BCE，∴OF∥平面BCE．（Ⅱ）由平面ABCD⊥平面ABE，且平面ABCD∩平面ABE=AB，DA⊥AB，DA?平面ABCD，∴DA⊥平面ABE，∴BE⊥AE，∴BE⊥平面DAE，∵BE?平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．【点评】：本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．20.已知抛物线，直线，设P为直线l上的动点，过P作抛物线的两条切线，切点分布为A，B.（1）当点P在y轴上时，求线段AB的长；（2）求证：直线AB恒过定点.参考答案：（Ⅰ）解：设，，的导数为，以为切点的切线方程为，即，同理以为切点的切线方程为，∵在切线方程上，∴，，∴，轴，∴（Ⅱ）证明：设，由（Ⅰ）得∴，由已知直线的斜率必存在，设的方程为，由得，∴，，∴，由在直线上可得，则方程为，即，∴直线过定点(1，2)．21.解：21.某公司有价值万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②时，；③，其中为常数，且．

（Ⅰ）设，求表达式，并求的定义域；

（Ⅱ）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入．参考答案：（2）

……7分当时