河南省信阳市灵宝第一高级中学高三数学理联考试卷含解析

河南省信阳市灵宝第一高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2013?肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0=a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为（）A．4B．3C．2D．1

参考答案：B【考点】：进行简单的合情推理；函数的值域．【专题】：计算题；新定义．【分析】：根据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．【解答】：解：根据题意，得f（x）=x⊕=（x⊕）⊕0=0⊕（x?）+（x⊕0）+（⊕0）﹣2×0=1+x+即f（x）=1+x+∵x＞0，可得x+≥2，当且仅当x==1，即x=1时等号成立∴1+x+≥2+1=3，可得函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为f（1）=3故选：B【点评】：本题给出新定义，求函数f（x）的最小值．着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和简单的合情推理等知识，属于中档题．2.如图，半径为的扇形的圆心角为，点在上，且，若，则(

).（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A3.参考答案：C略4.函数的零点个数是

(

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：D5.函数的大致图象为

参考答案：D6.若，则 A． B． C． D．参考答案：A7.“sinα=cosα”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由“sinα=cosα”得：α=kπ+，k∈Z，故sinα=cosα是“”的必要不充分条件，故选：B．8.在△ABC中，若?=?=?，且||=||=||=2，则△ABC的周长为（）A．B．2C．3D．6参考答案：D考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：在△ABC中，由?=?=?，且||=||=||=2三角形是等边三角形，只要求出△ABC的一边长度即可．解答：解：因为在△ABC中，?=?=?，且||=||=||=2，所以△ABC是等边三角形；由在△ABC中，若?=?=?，且||=||=||=2，所以∠AOB=120°，由余弦定理得AB2=OA2+OB2﹣2OA×OBcos120°=4+4+4=12，所以AB=2，所以三角形的周长为6；故选D．点评：本题考查了向量的数量积定义的运用，关键是由已知向量关系判断三角形的形状以及利用余弦定理求三角形的边长．9.若函数在区间，0)内单调递增，则的取值范围是

(

)

A.[，1)

B.[，1)

C.，

D.(1，)

参考答案：B略10.函数（其中）的图象如图1所示，为了得到的图象，则只需将的图象(

)A.向右平移个长度单位

B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位

D.向左平移个长度单位参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量a=（2,6），b=(－1，λ)，若a∥b，则λ=

参考答案：－3

12.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为

．

参考答案：

13.等边△ABC的边长为2，D,E分别为BC,CA的中点，则=

.参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．解析：由于D，E分别为边BC，CA的中点，则=（+），=（+），则?=（+）?（+）=（﹣﹣﹣+）=×（﹣4﹣2×﹣2×2×+2×2×）=．故答案为：．【思路点拨】运用中点的向量表示形式，结合向量的数量积的定义和性质，计算即可得到所求值．

14.函数的图像和其在点处的切线与轴所围成区域的面积为________.参考答案：

15.已知数列的首项，其前n项和为．若，则

．参考答案：16.的展开式中，的系数是__________．（用数字填写答案）参考答案：通项公式，令，解得，∴系数为．17.已知，为虚数单位，，则

▲

．参考答案：2由复数的运算法则：，结合复数相等的充要条件有：，即，则2.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）解不等式；（2）记函数f(x)的最大值为s，若，证明：.参考答案：（1）；（2）证明见解析【分析】（1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】（1）①当时，恒成立，；②当时，，即，；③当时，显然不成立，不合题意；综上所述，不等式的解集为.（2）由（1）知，于是由基本不等式可得（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）上述三式相加可得（当且仅当时取等号），，故得证.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19.（13分）设函数的导函数为

（1）a表示；

（II）若函数在R上存在极值，求a的范围。参考答案：解析：（I）

…………6分

（II）设处取得极值则使得不满足假设。当必须有两个相异根。故

即

…………13分20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．（1）求角A的大小；（2）若a=，c=2，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，通过两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）通过余弦定理求出b，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）acosC+ccosA=2bcosA由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA….3’所以sin（A+C）=2sinBcosA，即sinB=2sinBcosA由sinB≠0….6’由于0＜A＜π，故….7’（2）由余弦定理得，所以AC=1….12’故….14’【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．21.已知椭圆（）的上顶点与抛物线（）的焦点重合.（1）设椭圆和抛物线交于，两点，若，求椭圆的方程；（2）设抛物线上一点，若抛物线在点处的切线恰与椭圆也相切，求椭圆的方程.参考答案：（1）易知，则抛物线的方程为由及图形的对称性，不妨设，代入，得，则.将之代入椭圆方程得，得，所以椭圆的方程为.（2）将代入得.由图形的对称性，不妨设，则即，求导得，