专训3-相似三角形与函数的综合应用

阶段方法技巧训练（二）专训3相似三角形与函数的综合应用习题课解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数类型1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A(3，0)，B(0，)两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D.(1)求直线AB对应的函数解析式；(2)若S梯形OBCD＝，求点C的坐标；(3)在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点

的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条

件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．1解：(1)求直线AB对应的函数解析式；设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b，将A(3，0)，B(0，)的坐标分别代入得

解得∴直线AB对应的函数解析式为y＝－解：(2)若S梯形OBCD＝，求点C的坐标；设点C的坐标为(x，－＋)，那么OD＝x，CD＝－

x＋3.∴S梯形OBCD＝＝由题意得解得x1＝2，x2＝4(舍去)．∴C(2，).(3)在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点

的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条

件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：存在．当∠OBP＝90°时，如图①.易知OB＝

，OA＝3.Ⅰ.若△BOP1∽△OBA，则∴BP1＝OA＝3，∴P1(3，

)．Ⅱ.若△BP2O∽△OBA，则∴BP2＝＝1，∴P2(1，)．当∠OPB＝90°时，Ⅲ.若△P3BO∽△OBA(如图)，过点P3作P3M⊥OA于点M.则又易知∴∴P3A＝∵OP3•P3A＝P3M•OA，∴P3M＝∴OM＝∴P3(，).Ⅳ.若△P4OB∽△OBA(如图)，则∴P4O＝又易得P4在P3M上，∴P4M＝∴P4(，).当∠BOP＝90°时，点P在x轴上，不符合要求．综上得，符合条件的点有四个，分别是：P1(3，)，P2(1，)，P3(，)，P4(，).相似三角形与二次函数类型2．如图，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C(1，0)三点．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．2解：(1)求抛物线对应的函数解析式；由题意得A(3，0)，B(0，3)，∵抛物线经过A，B，C三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点的坐标分别代入

y＝ax2＋bx＋c，得方程组

解得∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－4x＋3.解：(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．如图，由题意可得△ABO为等腰直角三角形．若△ABO∽△AP1D，则∴DP1＝AD＝4，∴P1(－1，4)；

若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M

⊥x轴于M，∵△ABO为等腰直角三角形，∴△ADP2是等腰直角三角形，∴DM＝AM＝2＝P2M，即点M与点C重合，∴P2(1，2)，∴点P的坐标为(－1，4)或(1，2)．3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C处，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN

垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三

角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)．设直线BD对应的函数解析式为y＝kx＋m.把B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入y＝kx＋m，得

解得∴直线BD对应的函数解析式为y＝－2x＋2.∵抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋bx＋c，∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐标分别代入

y＝－x2＋bx＋c，得

解得∴抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋x＋2.解：(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN

垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的

三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；

若不存在，请说明理由．存在，①如图①，当△MON∽△BCO时，即∴MN＝2ON.设ON＝a，则M(a，2a)，∴－a2＋a＋2＝2a，解得a1＝－2(不合题意，舍去)，a2＝1，∴M(1，2)；②如图②，当△MON∽△CBO时，即∴MN＝

ON.设ON＝n，则M(n，

n)，∴－n2＋n＋2＝解得n1＝(不合题意，舍去)，n2＝∴M(，)．∴点M的坐标为(1，2)或(，).相似三角形与反比例函数类型4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝(x＞0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．3解：(1)求k的值及点E的坐标；在矩形OABC中，∵点B的坐标为(2，3)，∴BC边的中点D的坐标为(1，3)．∵双曲线y＝(x＞0)经过点D(1，3)，∴3＝

，∴k＝3，∴双曲线对应的函数解析式为y＝∵点E在AB上，∴点E的横坐标为2.又∵双曲线y＝

经过点E，∴点E的纵坐标为y＝∴点E的坐标为(2，).解：(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．易得BD＝1，BE＝，CB＝2.∵△FBC∽△DEB，∴