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文档简介
在这里,没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营0高数中的重要定理与公式及其证明(三)考研数学中最让考生头疼的当属证明题,而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度,一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试,很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂,硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力,最后还弄得自己一头雾水。因此,在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程,或是直接的考点,或是蕴含了重要的解题思想方法,在复习的初期,先掌握这些证明过程是必要的。14)单调性定理:设函数在上连续,在上可导。如果在上有,那么函数在上单调递增。如果在上有,那么函数在上单调递减。【点评】:这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解,但实际证明中却不能用图形来解释,需要更严密的证明过程。证明:仅证明的情形,的情形类似。,假定则利用拉个朗日中值定理可得,使得。由于,因此。由的任意性,可知函数在上单调递增。15)(极值第一充分条件)设函数在处连续,并在的某去心邻域内可导。ⅰ)若时,而时,则在处取得极大值ⅱ)若时,而时,则在处取得极小值;ⅲ)若时,符号保持不变,则在处没有极值;【点评】:单调性定理的推论,具体证明过程见教材。16)(极值第二充分条件)设函数在处存在二阶导数且,那么ⅰ)若则在处取得极小值;ⅱ)若则在处取得极大值。【点评】:这个定理是判断极值点最常用的方法,证明过程需要用到泰勒公式。证明:仅证明的情形,的情形类似。由于在处存在二阶导数,由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在的某领域内成立由于,因此由高阶无穷小的定义可知,当时,有,又由于,因此在的某领域内成立。进一步,我们有。也即,在的某领域内成立。由极值点的定义可知在处取得极小值。
16)洛必达法则设函数在的空心邻域内可导,,且则有,其中可以是有限数,也可以是。【点评】:洛必达法则是计算极限时最常用的方法,但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗
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