山西省太原市万柏林区第五中学高三数学理下学期摸底试题含解析

山西省太原市万柏林区第五中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，若，则点A的坐标为

A．（2，2）

B．（1，±2）

C．（1，2）

D．（2，）参考答案：答案：B2.已知对任意的，函数的值总大于0，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：B3.已知定义域为的函数满足，则时，单调递增，若，且，则与0的大小关系是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C4.已知向量a、b的夹角为θ，|a+b|=2，则θ的取值范围是(

)A.

B.

C.D.参考答案：C5.若角α的终边落在直线x+y=0上，则的值等于（） A．2 B． ﹣2 C． ﹣2或2 D． 0参考答案：考点： 三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题： 三角函数的求值．分析： 根据α的终边落在直线x+y=0上，判断出α所在的象限，并由平方关系化简所求的式子，再对α分类利用三角函数值的符号进一步化简求值．解答： 解：∵角α的终边落在直线x+y=0上，∴角α为第二或第四象限角．∵+=+，∴当角α为第二象限角时，原式=﹣+=0；当角α为第四象限角时，原式=+=0．综上可知：角α为第二或第四象限角时，均有值为0，故选D．点评： 本题考查了平方关系和三角函数值的应用，以及分类讨论思想．6.设A、B、C、D是同一个直径为的球的球面上四点，AD过球心，已知与都是等边三角形，则三棱锥A-BCD的体积是(

)A. B. C. D.参考答案：B【分析】取的中点，设球心为点，则为的中点，连接、、，计算出的边长，推导出平面，计算出的面积，进而可得出三棱锥的体积为，计算即可.【详解】如下图所示，取的中点，设球心为点，则为的中点，连接、、，设，则，由题意可知，且，由勾股定理，即，解得.为的中点，，，且，又，所以，平面，为的中点，，且，的面积为，因此，三棱锥的体积为.故选：B.【点睛】本题考查球内接三棱锥体积的计算，推导出线面垂直是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7.若a=3，b=logcos60°，c=log2tan30°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数和对数函数的性质求解．【解答】解：∵a=3＞30=1，0=＜b=logcos60°＜=1，c=log2tan30°＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．8.已知集合，，则集合等于A．

B．C．

D．参考答案：C略9.椭圆的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（

）A. B. C. D.参考答案：C10.设直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数为t1，则点P1与点P(a,b)之间的距离是(

).A.|t1|

B.2|t1|

C.|t1|

D.|t1|参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件。若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为

.参考答案：1/2略12.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为__________.参考答案：考点：双曲线性质．13.若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是． 参考答案：y=x【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程． 【解答】解：双曲线E的标准方程是， 则a=2，b=1， 即有渐近线方程为y=x， 即为y=x． 故答案为：y=x． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 14.已知正三棱锥PABC中,E,F分别是AC,PC的中点,若EFBF,AB=2,则三棱锥PABC的外接球的表面积为_________.参考答案：15.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为

。参考答案：16.函数的图像，其部分图像如图所示，则_________.参考答案：由图象可知，所以周期，又，所以。所以,,所以，即，所以，所以，所以。17.已知，则函数的最小值为

.参考答案：5【知识点】基本不等式E6y=2x+2+,y

=(2x

-1

)++

3≥2+3=5，当且仅当

(2x

-1

)

=时，等号成立，【思路点拨】y=2x+2+y

=(2x

-1

)++3，利用基本不等式求得其最小值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f(x)＝是R上的增函数，求a的取值范围．参考答案：f(x)是R上的增函数，则当x≥1时，y＝logax是增函数，∴a>1.又当x<1时，函数y＝(6－a)x－4a是增函数．∴6－a>0，∴a<6.又(6－a)×1－4a≤loga1，得a≥．∴≤a<6.综上所述，≤a＜6.19.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．参考答案：解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB.

…………5分

（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A，B，G，F四点共圆

…………10分20.无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起於惠山区惠山城铁站，止於无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站．经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6400万元，铺设距离为x公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400x3+20x万元．设余下工程的总费用为f（x）万元．（停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度）（1）试将f（x）表示成x的函数；（2）需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）先设需要修建k个停靠站，列出余下工程的总费用的函数表达式，再结合自变量x的实际意义：x表示相邻两停靠站之间的距离，确定出函数的定义域即可．（2）依据（1）中得出的函数表达式，结合基本不等式即可求得函数y的最大值，最后回到原实际问题进行解答即可．【解答】解：（1）设需要修建k个停靠站，则k个停靠站将28公里的轨道分成相等的k+1段∴…∴化简得…（2）（万元）…当且仅当即x=2，取“=”…答：需要建13个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为128028万元…21.（本小题满分12分）在数列中，，若函数在点处切线过点（）（1）

求证：数列为等比数列；（2）

求数列的通项公式和前n项和公式.参考答案：解：（1）因为，所以切线的斜率为，切点（1，2），

切线方程为………………2分

又因为过点（），所以，

即①…………4分

所以，

即数列为一等比数列，公比.……………6分（2）由（1）得为一公比为的等比数列，……………8分

则

∴，………………