材料力学第07章a(应力状态)-06

材料力学第07章a(应力状态)-06问题的提出AFFAszsxs

ysxs

ysztyxtyztzytzxtxytxzAA一、什么是一点的应力状态§7–1应力状态概述一点的受力状态。二、一点处应力状态的表示方法（1）单元体szsxs

ysxs

ysztyxtyztzytzxtxytxz单元体各面上应力均布；相互平行的面上应力相等。（2）应力分量AA三、为什么要研究一点处的应力状态

MeFlAAApAAFFy云纹图x云纹图xy云纹图FF

y云纹图

x云纹图FFsxsy

xysysx四、主平面、主应力：（1）主平面(PrincipalPlane)：

切应力为零的截面。（2）主应力(PrincipalStress）：

主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，AAA任意一点都可以找到三个相互垂直的主平面。s1s2s3

sxsyszs1≥s2≥s31、单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。

2、二向应力状态（PlaneStateofStress）：二个主应力不为零的应力状态。3、三向应力状态（Three—DimensionalStateof

Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。五、应力状态分类s1s1s1s1s2s2s3s3s1s1s2s2FF[例1]画出图中的A点的应力单元体。Ass§7–2二向和三向应力状态的实例dxdx[例2]

画出图中A点的应力单元体。ttttttMeMeA纯剪切应力状态[例3]

画出图中各点的应力单元体。FSMsMtFS12345F1F2qst123451sss1s12345F1F2qs1st123452ttss212345F1F2qst1234532tt3s112345F1F2qtt34st123453ttss412345F1F2q2s1s5st123455ss12345F1F2q32s14如图所示为承受内压的薄壁容器。容器所承受的内压力为p，容器直径D，壁厚

。[例4]pDs

用横截面将容器截开，l受力如图所示,根据平衡方程≥ls

s

ls

s

ll

'

'

''

''pll

''

''ls

s

压力容器应力测量工程实例xyz§7–3二向应力状态分析——解析法sxtxysytyxtyxtxysxsy平面应力状态:单元体有一对平面上的应力为零。一、任意斜截面上的应力二、最大正应力和最小正应力三、主平面和主应力四、应力圆（莫尔圆）sxtxysytyxsysx一、任意斜截面上的应力sa

a已知：

x、

y、

xy求：

、

sata

xysysx

yxsxsytyxtyxtxysxsytxy

、

y

x

xy

x

y

yxdAcos

dAsin

sata解：设斜截面面积为dA，dA

yxsasysxtatn

xy由平衡得：由tyx=txy和三角变换，得：同理：(1)正应力拉为正；正负号规定：

yxsasysxtatn

xysxsytyxtyxtxysxsytxy

n(2)切应力绕研究对象顺时针转为正；(3)a逆时针为正。求斜截面上的应力，单位MPa[例4]20x5030°30°30解：

[例5]已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。FAll30°z20300120108020

x60°A+－90kN90kN+135kN

m[例5]已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。z20300120108020解：

x60°∴FAll30°+

60°

60°A

60°

60°τxysysxτyxsata

二、最大正应力和最小正应力二、最大正应力和最小正应力得：

xysysx

yxsata

切应力箭头所在象限就是最大正应力所在象限。

0sminsmaxsmaxsminx令

=0，可得主平面的方位：即：最大和最小正应力就是主应力。由得三、主平面和主应力sminsmaxs1=smaxs2=smins1=s2=

0

xysysx

yxsata

x[例5]20x5030求主应力大小和主平面方位，并在单元体上画出主平面和主应力。单位MPa解：∴20x5030在单元体上画出主平面和主应力s1s1s3s3切应力箭头所在象限就是最大正应力所在象限。分析受扭构件的应力状态。解:(1)单元体如图所示(2)主应力xytxytyx[例6]

MeCAMeAtxytyxs1=ts1s3=-ts3MeMes1s1s3s3铸铁扭转破坏断口分析求C截面左侧a、b两点的主应力及主平面。[例7]+–200kN50kN+bsbasa

aaz1515270120b9250kNABC1.6m2m解：az1515270120b9asa

aaz1515270120basa

axs1s1s3s3bsb[例8

]求圆杆表面A点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，Me=47.1N·m，d=20mm。MeMeAFF

A

TMeAFNF[例8

]求圆杆表面A点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，Me=47.1N·m，d=20mm。解：

A

MeMeAFFxs1s1s3s3MeMeAFFA

MeMeAFFxs1s1s3s3对上述方程消去参数（2

），得到曲线的表达式：（1）应力圆（

StressCircle）§7–4二向应力状态分析——图解法

两边相加得：sytyxsxsataatxy此圆称为应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）与圆方程相比较：

R①建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）（2）应力圆的画法②在坐标系内画出点A(

x，

xy)和B(

y，

yx)

③AB与s

轴的交点C便是圆心。④以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；OstCB(sy,tyx)A(sx,txy)sxsytyxtyxtxysxsytxy①斜截面面上的应力(

，

)应力圆上一点(

，

)D(sa,

ta)（3）单元体与应力圆的对应关系②斜截面的法线应力圆的半径③x轴与斜截面的夹角为

两半径夹角2

；且转向一致。点面对应，转向相同，转角两倍。xA(sx,txy)B(sy,tyx)OstC2ansxtxysynxsytyxsxsataatxy（5）主平面和主应力O

CstA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a0smaxsmin（4）最大正应力和最小正应力sminsmaxs2=smins1=s2=

0smaxs1=

求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)解：3、连接A、B两点，与s轴的交点C便是圆心;2、在坐标系内画出点[例9

]10x40301、应力坐标系如图s10MPaτOBAC4、以C为圆心，以AC为半径画圆得应力圆。5、应力圆与s轴的交点便是主应力，6、从应力圆上可得s3与x轴的夹角为：s10MPaτOBACs3s12

010x4030s1s1s3s3x根据比例量得主应力的大小：

用图解法求图示单元体斜截面上的应力。(单位：MPa)解：[例10

]10x70s10MPa

OA30°B60°

用图解法求图示单元体斜截面上的应力。(单位：MPa)解：[例11

]40x40s10MPaτO30°12345F1F2qst1234551432梁的主应力及其主应力迹线1s3s15st2a0ts2a0=–90°st2a02s1s3a0233s1s3–45°4s1s3a04D1D2s3s1xD1D2s3s1D1D2s1s3x主应力迹线（StressTrajectories)（P220）主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。红实线表示拉主应力迹线；蓝虚线表示压主应力迹线。q

1

3

3

1拉应力压应力

1

3qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面xyzs2s1s31、空间应力状态§7–5三向应力状态分析sxsztxysxs

ytyxtyztxztzytzxs

y主应力状态2、三向应力分析xyzs2s1s3s1s2s3s1s3s3s2satas2s12、三向应力分析xyzs2s1s3s1s2s3s2s1s1s3s1s3s2s2s1s3s3s2sata一点的最大切应力为：tmaxs2s1s3s1s2s3一点的最大正应力为：斜面上的应力在三向应力圆的阴影内三向应力圆是一点处所有各个不同方位截面上应力的集合。D求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）由单元体图知：yz面为主面5040xyz30解：503040[例11]

求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）由单元体图知：yz面为主面解：3040∴[例11]

505040xyz30§7–8

广义胡克定律一、一点的变形

(线应变和角应变)设单元体的三个边长分别为lx、ly、lz受力后三个边长分别伸长Δx、Δy、Δz线应变角应变sxsztxysxs

ytyxtyztxztzytzxs

yxyz二、单向拉（压）时的胡克定律sxFFA三、纯剪的应力-应变关系tttt

A

x

yxyz四、复杂应力状态下的应力—应变关系根据叠加原理计算各应变

szsytxysxsxsxsysyszsztxytyxtzytyztzxtxzxyz

szsytxysxxyzsxsxsysyszsz上式称为广义胡克定律sxxsxsysyszsztxytyxtzytyztzxtxz上式称为广义胡克定律

szsytxysxxyz主应力-主应变关系s1s3s2最大线应变sxsytyxtyxtxysxsytxy对于平面应力状态问题：∵[刘题7.26]

P259已知：E=200GPa,

=0.3，应力单位为MPa，求对角线AC的改变量ΔlACA15C30°3025[刘题7.26]P259已知：E=200GPa,

=0.3，应力单位为MPa，求对角线AC的改变量ΔlACA15C30°30251530°

30°x

-60°解：A15C30°30251530°

30°x

-60°[例13]已知：E=200GPa，

=0.3，F=3kN，Me=12N·m，d=10mm，求A点图示方向的线应变。A

AF45°解：TAFN

－45°

45°AA

－45°

45°A图示28a工字钢梁，查表知，IZ/SZ=24.62cm,腹板厚d=8.5mm，材料的E=200GPa，

=0.3，在梁中性层处粘贴应变片，测得与轴线成45°方向的线应变为

=－2.6×10－4，求载荷F的大小。[例14]zyFAB2m1m45°ts3s1s1=ts3=－t解：ts3s1=ts1s3=－t∵∵AsxsytyxtyxtxysxsytxyA0°90°