浙江大学20202020秋冬学期微积分I期末考试2

微积分习题一一、填空题（每题3分，共计15分）。1、，则.2、设在处持续，且，那么.3、已知在处有极值-2，那么的极大值为.4、已知.五、假设向量垂直于向量与向量，且与向量的数量积等于-6，那么向量.

二、单向选择填空题（每题3分，共计15分）一、设函数，以下关系正确的选项是（）.A.B.C.D.二、以下广义积分收敛的是（）.A.B.C.D.3、已知=（）.A.1B.eC.2D.04、曲线的弧长为（）.A.B.C.D.五、函数处处持续，那么().A.2C.1D.–1

三、计算题（每题6分，共计48分）。1.设持续，且求2.设函数可导，求的导数。3.已知是由方程所确信的隐函数，求.4.已知，求在处的值.5.求6.求7.求通过直线和点的平面方程.8.已知求四、应用题（15分）。一、设直线与抛物线所围成的图形的面积为又设与直线所围成的图形的面积为（1）

试确信的值及使达到最小，并求出最小值.（2）

求由该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.2.设有一半径为4米的半球形水池，里面充满了水.问将池中的水全数抽出需作多少功？五、证明题（共7分）1.

证明不等式在时成立.2.设在上持续，内可导，且试证明存在，使得答案：一、填空题（每题3分，共计15分）。1、2、A.3、极大值为.4、.五、.

二、单向选择填空题（每题3分，共计15分）

5.B

三、计算题（每题6分，共计48分）。1.设持续，且求2.设函数可导，求的导数。3.已知是由方程所确信的隐函数，求.4.已知，求在处的值.5.求6.求7.求通过直线和点的平面方程.8.已知求四、应用题（15分）1.设有一半径为4米的半球形水池，里面充满了水.问将池中的水全数抽出需作多少功？二、设直线与抛物线所围成的图形的面积为又设与直线所围成的图形的面积为（1）

试确信的值及使达到最小，并求出最小值.

（2）

求由该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.2.设有一半径为4米的半球形水池，里面充满了水.问将池中的水全数抽出需作多少功？五、证明题（共7分）1.

证明不等式在时成立.令2.设在上持续，内可导，且试证明存在，使得微积分习题二一、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1.极限＝_______.2.曲线的凸(向上凸)区间是______________.3.

设在内处处可导，那么极限＝____________________.4.

曲线绕轴旋转而成的曲面方程是_______________.5.

微分＝_________________.二、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1.设均为非零向量，那么与向量不垂直的向量为（）.A.B.C.D.2.假设函数知足，那么此函数必().A.有极值B.无极值C.不单调D.不可导3.以下广义积分发散的是().A.B.C.D.4.星形线的全长是()A.B.C.D.5.一物体按规律作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，比例常数为，那么此物体从移至时克服媒质阻力所作的功为().A.B.C.D.

三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）1.求极限.2.求由参数方程所确信的函数的二阶导数3.设函数由方程所确信，求.4.计算积分5.计算积分.6.计算定积分7.直线过点且与直线相交，又平行于平面，求此直线方程.

四、应用题（本大题共2小题，每题7分，共14分）1.

在一个半径为的圆内内接一个矩形，当矩形的长和宽为多少时，矩形的面积最大？

2.求由曲线与轴所围成的平面图形的面积，及此平面图形绕轴旋转而成的立体的体积.五、证明题（本大题共2小题，第1小题4分，第2小题3分）1.当时，证明不等式.2.设在上持续，在上可积，且，那么在上至少存在一点，使得.

答案：一1.2.3.4.5.

二1.2.3.4.5.三1.解:原式2.解:3.解:方程两边同时微分得:整理得:即4.解:原式5.解:原式6.解:原式=7.解:过点与平面平行的平面方程为记为与的交点为方程组的解解得交点为故所求的直线方程为：四1.解:设矩形的长和宽别离为则知足,矩形面积解得(负值舍去)当时时故在时,取得极值考虑实际意义,在区间端点处故在时,取得极值即为最大值2.解:曲线与轴的交点为:和五1.证明:令则故单调减少,即因此2.证明:令取别离为在上的最大值和最小值则故由持续函数介值定理知:使得即:微积分习题三浙江大学2004级微积分（上）期中考试试题解答填空（每题4分，共32分）判定以下函数的中断点的类型：是的第一类（可去）中断点；是的第一类（跳跃）中断点；是的第二类中断点。2．假设，那么。3．假设，那么。4．设当时，是比高阶的无穷小，那么。5．设，那么其n阶导数在点处取到极小值。6．设点是曲线的拐点，那么参数。7．函数的图形有铅垂渐近线

和斜渐近线。8．已知，且，那么。计算与证明（共68分）（6分）解：（6分）解1：解2：设，试确信a，b，使在处可导，并求。（8分）解：在处可导因此持续，，且那么求由方程所确信的函数的微分和在处的切线方程。（8分）解：方程两边求微分：

或切线斜率，切线方程为：即设，求和在处的曲率半径。（8分）解：曲率，则

曲率半径求的取值范围，使得方程有实根。（8分）解：设故有唯一极小值点，极小值为。而当时，方程有唯一实根，当时，方程有两个实根，于是，。设，试证存在，并求此极限。（6分）证：，设成立，则单调递增。又设成立，那么有上界。于是收敛。设，

则，

。设在上可导，且，试证至少存在一点，使。（6分）解：设在上持续，可导，且由罗尔定理，至少存在一点，使，即。求（6分）解：求（6分）