辽宁省抚顺市第四十四高级中学高三数学文模拟试卷含解析

辽宁省抚顺市第四十四高级中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“a=-1”是“直线与直线互相垂直”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

C.既不充分也不必要条件参考答案：A略2.已知向量i与j不共线,且，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是(A)m+n=1

(B)m+n=-1

(C)mn=1

(D)mn=-1参考答案：C3.设命题函数在定义域上为减函数；命题，当时，，以下说法正确的是（

）A．真

B．真

C．真假

D．假

参考答案：D略4.在平面直角坐标系中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称.若,则（

）A.－1 B. C. D.1参考答案：C【分析】由角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称，可以求出，这样利用二倍角的余弦公式可以求出的值.【详解】因为角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称，所以，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，由已知得到角与角的关系是解题的关键.5.设函数则的单调减区间为（）

A.

B.

C.

D.参考答案：B6.设是函数的导函数,的图象如右图所示，则的图象最有可能的是参考答案：C略7.的值等于（）A．

B．0

C．8

D．10参考答案：【知识点】指数运算性质对数运算性质B6B7A因为所以选A.【思路点拨】熟记指数的运算性质及对数的运算性质是解题的关键.8.已知集合，若，则实数a的取值范围是

A．

B.

C.

D．参考答案：B9.为了得到函数的图像，只需把函数的图像(

)A．向左平移个长度单位

B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位参考答案：A10.甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（

）A．甲是教师，乙是医生，丙是记者

B．甲是医生，乙是记者，丙是教师C.甲是医生，乙是教师，丙是记者

D．甲是记者，乙是医生，丙是教师参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为.以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为，则圆心C到直线l距离为______.参考答案：12.已知是实数，是虚数单位，若是纯虚数，则

．参考答案：113.如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角为

。参考答案：14.

。参考答案：15.设向量，则实数.参考答案：16.已知正四棱柱的外接球直径为，底面边长，则侧棱与平面所成角的正切值为_________。参考答案：略17.在等差数列中，若，则此数列的前13项之和为

.参考答案：52略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线x2=2y，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且kPAkPB=﹣2．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）直线PA：y﹣y0=kPA（x﹣x0），代入抛物线方程，得出，同理，有，kPA，kPB分别为方程：k2﹣2x0k+2y0=0的两个不同的实数根，利用韦达定理求点P的轨迹方程；（Ⅱ）求出直线AB的方程，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设P（x0，y0），则直线PA：y﹣y0=kPA（x﹣x0），代入抛物线方程：x2﹣2kPAx﹣2y0+2kPAx0=0，因为直线与抛物线相切，所以，…同理，有，…所以kPA，kPB分别为方程：k2﹣2x0k+2y0=0的两个不同的实数根，…kPAkPB=﹣2=2y0，所以y0=﹣1，所以点P的轨迹方程为y=﹣1．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，y'=x，所以抛物线在A，B点的切线方程分别为x1x﹣y﹣y1=0，x2x﹣y﹣y2=0，…又都过点P（x0，﹣1），所以…所以直线AB的方程为xx0﹣y+1=0，…所以直线AB恒过定点（0，1）．…19.如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．

参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在图1中，可得，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，从而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD另解：在图1中，可得，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC?面ABC，从而BC⊥平面ACD（Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，则，，，设为面CDM的法向量，则即，解得令x=﹣1，可得又为面ACD的一个法向量∴∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为．20.已知函数(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数的单调性；(2)当函数有两个零点时，证明：．参考答案：（1）解：因为，（1分）当时，令，所以当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；（3分）当时，恒成立，故此时函数在R上单调递增.（5分）（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点，所以，设函数的两个零点为，则，设，解得，所以，（8分）欲证，只需证明，设设单调递增，所以，所以在区间上单调递增，所以，故成立．（12分）21.已知函数f（x）=sinxcos?+cosxsin?（其中x∈R，0＜φ＜π），且函数的图象关于直线对称．（I）求f（x）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若，求sin2α的值．参考答案：考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，求出最小正周期，由确定出的函数解析式，利用对称轴公式列出关系式，将x=代入即可求出φ的值；（Ⅱ）由第一项确定的函数解析式，根据已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，两边平方后，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值．解答：解：（I）∵f（x）=sin（x+φ），∴f（x）的最小正周期为2π，∵y=f（2x+）=sin（2x++φ），y=sinx的对称轴为x=kπ+（k∈Z），∴令2x++φ=kπ+，将x=代入得：φ=kπ﹣（k∈Z），∵0＜φ＜π，∴φ=；（Ⅱ）∵f（α﹣）=sin（α﹣+）=sin（α+）=（sinα+cosα）=，∴sinα+cosα=，两边平方得：1+2sinαcosα=1+sin2α=，则sin2α=﹣．点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握公式是解本题的关键．22.已知函数（Ⅰ）若试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）令若至少存在一个实数，使成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）单调递增区间是,单调递减区间是；（Ⅱ）；（Ⅲ）.（Ⅰ）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，

3分由得，故的单调递减区间是．

4分（Ⅱ）由得．

5分

①当时，．此时在上单调