湖南省娄底市楚才中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省娄底市楚才中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.要从10名男生与5名女生中选出6名学生组成课外活动小组，如果按性别分层抽样，则组成不同的课外活动小组的个数

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．4 C．6 D．12参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=（1+2）×2=3，高h=2，故体积V==2，故选：A3.函数y=1n|x－1|的图像与函数y=-2cosx（-2≤x≤4）的图像所有交点的横坐标之和等于

A．8

B．6

C．4

D．2参考答案：B略4.已知，为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先由题意得到，不妨令在第一象限内，再得到为等边三角形，求出，，结合双曲线的定义，即可求出结果.【详解】因为直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，所以，不妨令在第一象限内，又为中点，，所以，因为直线的倾斜角为，所以为等边三角形，所以，因此，在中，，由双曲线的定义可得：，所以双曲线的离心率为.故选C【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可，属于常考题型.5.如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中为线段上异于的点，为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是

（

）

A．

B．四边开是矩形

C．是棱柱

D．是棱台参考答案：D6.若直线ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内(

) A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点参考答案：B考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据余弦函数的最大值为1，可知函数在[π，+∞）上为正值，在此区间上函数没有零点，问题转化为讨论函数在区间[0，π）上的零点的求解，利用导数讨论单调性即可．解答： 解：f′（x）=+sinx①当x∈[0．π）时，＞0且sinx＞0，故f′（x）＞0∴函数在[0，π）上为单调增取x=＜0，而＞0可得函数在区间（0，π）有唯一零点②当x≥π时，＞1且cosx≤1故函数在区间[π，+∞）上恒为正值，没有零点综上所述，函数在区间[0，+∞）上有唯一零点点评：在[0，+∞）内看函数的单调性不太容易，因此将所给区间分为两段来解决是本题的关键所在．8.运行右图框图输出的S是254，则①应为________（1）

（2）

（3）

（4）参考答案：9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D由题得几何体的原图为图中的四棱锥A-BCDE,四棱锥A-BCDE的外接球和长方体的外接球重合，因为长方体的外接球直径所以该几何体的外接球的体积为故选D.

10.如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C因为，令，则，所以．令，则当时，，所以在上单调递增．又因为，所以在上有唯一零点，所以的值所在区间为．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AS=AB=1，，则球O的表面积为

．参考答案：5π．【考点】球的体积和表面积．【分析】四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径，由此有求出球O的表面积．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径，∵SA=AB=1，BC=，∴2R==，即R=，∴球O的表面积S=4πR2=5π．故答案为：5π．12.函数y=的定义域为．参考答案：（0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：log0.2x≥0，解得：0＜x≤1，故函数的定义域是（0，1]，故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．13.将函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图象，则

.参考答案：将函数向左平移个单位长度可得的图象；保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍可得的图象，故，所以.

14.函数的图像关于（

）对称A.x轴 B.y轴 C.原点 D.y=x参考答案：C略15.函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是．参考答案：π略16.存在实数x，使，则a的取值范围是_________参考答案：略17.已知函数y=f（x），x∈R，给出下列结论：①若对于任意x1，x2且x1≠x2都有＜0，则f（x）为R上的减函数；②若f（x）为R上的偶函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）=0则f（x）＞0的解集为（﹣2，2）；③若f（x）为R上的奇函数，则y=f（x）﹣f（|x|）也是R上的奇函数；④t为常数，若对任意的x都有f（x﹣t）=f（x+t），则f（x）的图象关于x=t对称．其中所有正确的结论序号为．参考答案：①【考点】抽象函数及其应用．【分析】由单调性的定义，即可判断①；由偶函数的单调性可得f（x）在[0，+∞）上递增，f（x）＞0即为f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，计算即可判断②；由奇偶性的定义，即可判断③；由周期函数的定义，可得f（x）为周期函数，并非对称函数，若f（x）满足f（t+x）=f（t﹣x），则f（x）关于直线x=t对称，即可判断④．【解答】解：对于①，若对于任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有＜0，即当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），则f（x）为R上的减函数，则①对；对于②，若f（x）为R上的偶函数，且在（﹣∞，0]内是减函数，则f（x）在[0，+∞）上递增，f（2）=f（﹣2）=0，则f（x）＞0即为f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，解得x＞2或x＜﹣2，则②错；对于③，若f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x）﹣f（|﹣x|）=﹣f（x）﹣f（|x|），即有y=f（x）﹣f（|x|）不是奇函数，则③不对；对于④，若对任意的x都有f（x﹣t）=f（x+t），即有f（x）=f（x+2t），即f（x）为周期函数，并非对称函数，若f（x）满足f（t+x）=f（t﹣x），则f（x）关于直线x=t对称，则④错．故答案为：①．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的定义域及其最大值；（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间．参考答案：【考点】：三角函数的最值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）解sinx≠0可得f（x）的定义域，化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值；（Ⅱ）由和x∈（0，π）可得f（x）在（0，π）上的单调递增区间．解：（Ⅰ）由sinx≠0，得x≠kπ（k∈Z）．∴f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，∵=2cosx﹣2sinx=，∴f（x）的最大值为；（Ⅱ）∵函数y=cosx的单调递增区间为[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）由，x≠kπ（k∈Z），且x∈（0，π），∴f（x）在（0，π）上的单调递增区间为【点评】：本题考查三角函数的最值和单调性，属基础题．19.（本小题满分12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人，认为作业不多的有9人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人，认为作业不多的有15人，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？参考答案：解：

认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总数262450K2=，

P（K2>5.024）=0.025,有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系。略20.设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，求实数a、b的值；（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立（e为自然对数的底数），求实数m的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）∵，又函数在处与直线相切，，解得．

…5分（Ⅱ）当b=0时，，若不等式对所有的都成立，即对所有的都成立，令，则为一次函数，∴．…8分上单调递增，，对所有的都成立．．…12分（注：也可令所有的都成立，分类讨论得对所有的都成立，，请根据过程酌情给分）略21.（本题满分14分）已知复数，其中，，，是虚数单位，且，．（1）求数列，的通项公式；（2）求和：①；②．参考答案：解：（1），，．由得，………………3分数列是以1为首项公比为3的等比数列，数列是以1为首项公差为2的等差数列，，．……6分（2）由（1）知，．①．……10分②令，

（Ⅰ）将（Ⅰ）式两边乘以3得（Ⅱ）将（Ⅰ）减（Ⅱ）得．，.……略22.（13分）如图：四棱锥的底面是提醒，腰，平分且与垂直，侧面都垂直于底面，平面与底面成60°角（1）求证：；（2）求二面角的大小参考答案：解析：（1）证明：因为

侧面都垂直于底面，

所