福建省泉州市安溪县第十九中学高二数学文期末试题含解析

福建省泉州市安溪县第十九中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与另外的四个面都相交．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．2.若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（） A． B． C． D． 参考答案：B3.若集合,那么（

）A．(0,3)

B．(－1,+∞)

C．(0,1)

D．(3,+∞)参考答案：A，则4.若函数f（x）=x3﹣tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，3] C．[，+∞） D．[3，+∞）参考答案：C【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】由题意可得f′（x）≤0即3x2﹣2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣tx2+3x，∴f′（x）=3x2﹣2tx+3，若函数f（x）=x3﹣tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则f′（x）≤0即3x2﹣2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，∴t≥（x+）在[1，4]上恒成立，令y=（x+），由对勾函数的图象和性质可得：函数在[1，4]为增函数，当x=4时，函数取最大值，∴t≥，即实数t的取值范围是[，+∞），故选：C【点评】本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．5.已知，则（）A． B． C． D．参考答案：D略6.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（

）个A．3个

B．4个

C.6个

D．7个参考答案：D空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥,①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有个，故选D.

7.在棱长为1的正方体ABCD—中，M和N分别为和的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.己知命题p：存在；命题q：△ABC中，若sinA>sinB，则A>B，则下列命题中为真命题的是(

)．(A)p且q

(B)p或q

(C)p且q

(D)p且q参考答案：C略9.若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是(

)A．α内所有的直线都与a异面 B．直线a与平面α有公共点C．α内所有的直线都与a相交 D．α内不存在与a平行的直线参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：∵直线a不平行于平面α，∴α内所有的直线都与a异面或相交，故A和C均错误；直线a与平面α至少有一个公共点，故B正确；当a?α时，α内存在与a平行的直线，故D不正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程

A．

B．C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线与直线互相垂直，，且,则的最小值是

.参考答案：2略12.复数在复平面内对应的点位于第

象限．参考答案：四【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故答案为：四．13.已知F1,F2分别是椭圆C:的左右焦点，A是其上顶点，且是等腰直角三角形，延长AF2与椭圆C交于另一点B,若的面积是8，则椭圆C的方程是

．参考答案：14.若直线为曲线的一条切线，则实数b的值是______．参考答案：1设切点为，又，所以切点为（0,1）代入直线得b=115.已知向量,.若,则实数__________

参考答案：16.函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数=2x+1()是单函数．下列命题：①函数（xR）是单函数；②指数函数（xR）是单函数；③若为单函数，且，则；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）参考答案：答案：②③④解析：对于①，若，则，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．【分析】根据单函数的定义分别进行判断即可．【详解】①若函数f（x）=x2（x∈R）是单函数，则由f（x1）=f（x2）得x12=x22，即x1=﹣x2或x1=x2，∴不满足单函数的定义．②若指数函数f（x）=（x∈R）是单函数，则由f（x1）=f（x2）得2x1=2x2，即x1=x2，∴满足单函数的定义．③若f（x）为单函数，x1、x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2），则根据逆否命题的等价性可知，成立．④在定义域上具有单调性的函数一定，满足当f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，∴是单函数，成立．故答案为：②③④.【点睛】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用单函数的定义是解决本题的关键．17.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是

．

参考答案：如图，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体的棱长为，过作于．

因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了调查甲、乙两个交通站的车流量，随机选取了14天，统计每天上午8：00～12：00间各自的车流量（单位：百辆），得如图所示的统计图，试求：（1）甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？（2）甲交通站的车流量在[10，60]间的频率是多少？（3）甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由．参考答案：【考点】茎叶图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）由各组数据的最大值减去最小值就是这组数据的极差；（2）用甲交通站的车流量在[10，60]间天数除以14就得到甲交通站的车流量在[10，60]间的频率；（3）通过茎叶图中的数据对甲乙两个交通站比对，明显甲交通站集中在60百辆附近，乙较分散．【解答】解：（1）甲交通站的车流量的极差为73﹣8=65（百辆），乙交通站的车流量的极差为71﹣5=66（百辆）；（2）甲交通站的车流量在[10，60]间的频率为．（3）甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方，而乙交通站的车流量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲交通站更繁忙．【点评】本题考查了茎叶图与古典概型的概率计算公式，考查了学生的读图能力，属基本概念题．19.在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1=0.25，在B处的命中率为q2．该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X02345P0.03p1p2p3p41）求的值；

2）求随机变量X的数学期望EX；3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．参考答案：解：1）由题设知，“”对应的事件为在“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知

解得

2）根据题意 因此

3）用C表示事件“选同学选择第一次在A处投，以后都有B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则 故 即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率。略20.在某次电影展映活动中，展映的影片有科幻片和文艺片两种类型，统计一随机抽样调查的样本数据显示，100名男性观众中选择科幻片的有60名，女性观众中有的选择文艺片，选择文艺片的观众中男性观众和女性观众一样多.（Ⅰ）根据以上数据完成下列2×2列联表

科幻片文艺片总计男

女

总计

（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为选择影片类型与性别有关？附：…0.100.050.0250.0100.001…2.7063.8415.0246.63510.828参考答案：（Ⅰ）观看文艺片的男性观众有人，所以观看文艺片的女性观众有40人，女性观众共有人.得到列联表如下：（Ⅱ）由（Ⅰ）中列联表的数据可得，.因为，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为选择影片类型与性别有关.21.如图，平行六面体ABCD-中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长度为b，且，设，，。（1）用、、表示、，并求和的长；（2）