山东省青岛市平度前楼中学高三数学文下学期摸底试题含解析

山东省青岛市平度前楼中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)=，若关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A．[0，]

B．(0，) C．[0，] D．(0，)参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】若关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=x+m有三个交点，数形结合可得答案．【解答】解：函数的图象如下图所示：若关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=x+m有三个交点，当直线y=x+m经过原点时，m=0，由y=﹣x2+2x的导数y′=﹣2x+2=得：x=，当直线y=x+m与y=﹣x2+2x相切时，切点坐标为：（，），当直线y=x+m经过（，）时，m=，故m∈（0，），故选：D．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，难度中档．2.过抛物线的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若

，则的值为

A．5

B．4

C．

D．参考答案：B3.已知函数与互为反函数，且函数与函数也互为反函数，若则=（

）参考答案：D由,互换得，，，累加法：

4.（5分）（2013?兰州一模）执行右面的程序框图，若输入的n=6，m=4那么输出的p是（）A．120B．240C．360D．720参考答案：C略5.下列判断正确的是（

）A．函数是奇函数；

B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数

D．函数既是奇函数又是偶函数参考答案：C6.已知R是实数集，M==（）A．（﹣1，2） B．[一l，2] C．（0，2） D．[0，2]参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先通过解不等式及函数的值域求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∵＜1，∴﹣1＜0，∴＞0，∴x（x﹣2）＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴?RM=[0，2]，∵y=x2﹣1≥﹣1，∴N=[﹣1，+∞），∴?RM∩N=[0，2]，故选：D．7.函数的定义域为（）A．B．C．D．参考答案：解：选D．由．8.（5分）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．4参考答案：C【考点】：棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选C．【点评】：本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．9.已知，，则的值是A．0

B．

C．1

D．参考答案：A10.集合，则下列结论正确的是A．

B．C．

D．参考答案：答案：D解析：,又,∴，选D。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数k的取值范围为

．参考答案：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]

【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数的解析式、一元二次函数的单调性、函数单调性的性质，列出不等式组，求出实数k的取值范围．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得k≤﹣1或1≤k≤2，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]，故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．12.如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是____________.参考答案：13.已知命题“若为任意的正数，则”．能够说明是假命题的一组正数的值依次为

．参考答案：1,2,3（只要填出，的一组正数即可）14.关于x的方程=k(x-2)+1有两解则k的取值范围是

参考答案：（0，】15.（2010?扬州模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若（a2﹣1）3+2010（a2﹣1）=1，（a2009﹣1）3+2010（a2009﹣1）=﹣1，则下列四个命题中真命题的序号为．①S2009=2009；②S2010=2010；③a2009＜a2；④S2009＜S2．参考答案：②③略16.整数，且，则分别为_________.参考答案：解析：方程两边同乘以８，得。因为，所以要使左边为奇数，只有，即.则.要使左边为奇数，只有，即.从而有，即.故有.17.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E是BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共14分）已知实数组成的数组满足条件：①；

②.(Ⅰ)当时，求，的值；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设,且，

求证：.参考答案：(Ⅰ)解：

由（1）得，再由（2）知，且.当时，.得，所以……………2分当时，同理得………………4分（Ⅱ）证明：当时，由已知,.所以.………………9分（Ⅲ）证明：因为，且.所以,即

.……………11分).……………14分19.（本小题满分12分）如图4，三棱柱中，侧面底面，，且,O为中点．（Ⅰ）在上确定一点，使得平面，并说明理由；（Ⅱ）求二面角的大小．

参考答案：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）为中点．

2分证法一：取中点，连接．

3分所以可得，所以面面．

5分所以平面．

6分证法二：因为，且Ｏ为的中点，所以．又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面．以Ｏ为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…………1分由题意可知，又所以得:则有：．

2分设平面的一个法向量为，则有

，令，得

所以．

4分设

即，得所以得由已知平面，得，

即得．即存在这样的点，为的中点．

6分（Ⅱ）由法二，已知，设面的法向量为m

m

m

，则，m

令，所以．

8分m‖n

m·n

n

m

所以＜,＞＝＝＝．

10分由图可得二面角的大小为．

12分略20.已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；（2）表示出f（x1）+f（x2）=lna++ln2+1，通过求导进行证明．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣，（x＞0，a＞0），不妨设φ（x）=2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），则关于x的方程2ax2﹣x+1=0的判别式△=1﹣8a，当a≥时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当0＜a＜时，△＞0，方程f′（x）=0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增；（2）由（1）知当且仅当a∈（0，）时f（x）有极小值x1和极大值x2，且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2=，x1x2=，∴f（x1）+f（x2）=（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣（lnx1+lnx2）=ln（2a）++1=lna++ln2+1（0＜a＜），令g（a）=lna++ln2+1，当a∈（0，）时，g′（a）=＜0，∴g（a）在（0，）内单调递减，故g（a）＞g（）=3﹣2ln2，∴f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．21.已知，，分别为三个内角，，的对边，.（1）求；（2）若，是边上一点，且的面积为，求.参考答案：解法一：（1）根据正弦定理，等价于．又因为在中，．故，从而，因为，所以，得，因为，所以．（2）由，可得，因为，所以．根据余弦定理，得，即．在中，根据正弦定理有，得．因为，故．解法二：（1）同解法一．（2）由，可得，根据正弦定理，可得．取的中点，连接，为边上的高，且，由，得．又在直角三角形中，，，得．所以．22.如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=PC=1，，E为线段PD上一点，且PE=2ED．（Ⅰ）若F为PE的中点，证明：BF∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接OE，可得O为BD的中点．再由已知得到E为DF的中点，得OE∥BF，由线面平行的判定可得BF∥平面ACE；（Ⅱ）连接PO，可得PO⊥AC，进一步得到PO⊥平面ABCD．在求解三角形可得AB．分别以直线OC，OD，OP为x轴、y轴、z轴建立空间直角标系，求出所用点的坐标，得到平面平面ACE与平面PAC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角P﹣AC﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴O为BD的中点．又∵PE=2ED，F为PE的中点，∴E为DF的中点，得OE∥BF，又∵BF?平面ACE，OE?平面ACE，∴BF∥平面ACE；（Ⅱ