第六章常微分方程

第六章常微分方程

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不定积分问题—

微分方程问题推广6.1微分方程的基本概念6.2一阶微分方程6.3二阶微分方程6.4用Matlab软件解二阶常系数非齐次微分方程第六章常微分方程6.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第六章常微分方程解:

设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点

处的切线斜率为2x，求这曲线的方程。第六章常微分方程例2质量为m的物体从空中自由下落，若略去空气阻力．求物体下落的距离s与时间t的函数关系s(t)。解；未知函数s(t)应满足方程,即两边积分得再积分一次，得此外，设运动开始时，物体的初始速度和初始位移为零，得第六章常微分方程常微分方程偏微分方程1.含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程

.2.微分方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数叫做微分方程的阶.(本章内容)微分方程的基本概念分类例如为二阶微分方程第六章常微分方程3.代入微分方程后，能使之成为恒等式的函数称为微分方程的解

.4.用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件.微分方程的基本概念特解通解(不含任意常数)分类5.寻求微分方程的解的过程称为解微分方程.第六章常微分方程6.2一阶微分方程6.2.1可分离变量的微分方程6.2.2一阶线性微分方程第六章常微分方程6.2.1可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程转化两边积分第六章常微分方程例3(细菌繁殖模型)在一个理想的环境中，细胞的繁殖率与细菌的数目成正比，若时细菌的数目为，求系统的细菌繁殖规律。两边积分

解：设示在时刻细菌数目，依题意有即(C为任意常数)又因，为已知,故特解为第六章常微分方程例4（自然生长模型）表示一种生物在时间t时种群总数，开始时种群总数分别表示该总群的出生率和死亡率，实践证明

解：在t到△t这段时间内种群总数改变量为当时采用可分离变量后，积分得其中r>0，k>0，试求该种群的自然生长规律。第六章常微分方程由确定常数C，则可得生物总群自然增长规律：此式称为Logistic方程，显然当其曲线图为第六章常微分方程例5（肿瘤生长模型）设是肿瘤体积。免疫系统非常脆弱时，V呈指数式增长，但V长大到一定程度后，因获取的营养不足使其增长受限制。描述V的一种数学模型是：

是肿瘤可能长到的最大体积，确定肿瘤生长规律第六章常微分方程解：分离变量两边积分由初始条件，可确定，故特解是即此为贡柏茨方程第六章常微分方程此为贡柏茨方程图形第六章常微分方程二、可化为分离变量的某些方程*1.齐次方程形如令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:第六章常微分方程例6.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(

当C=0时,y=0也是方程的解)(C

为任意常数)第六章常微分方程例7.解微分方程解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量x此为齐次方程，令分离变量，再两边积分将u带回得第六章常微分方程2.型方程作变换例8.求方程的通解解：令则得方程通解为将代回得原方程通解第六章常微分方程6.2.2一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为非齐次方程

.称为齐次方程

;定义3如果方程中未知函数的导数（微分）的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为一阶线性微分方程。一、一阶线性微分方程第六章常微分方程1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为这里仅表示p(x)的一个原函数2.解非齐次方程改写为第六章常微分方程两边积分令令（1）下面求C（x），对（1）求导得代入标准方程得第六章常微分方程齐次方程通解非齐次方程特解故原方程的通解即两端积分得第六章常微分方程1.齐次方程通解为：２.非齐次方程通解为：第六章常微分方程例9用常数变易法求一阶线性方程通解解：齐次方程通解：用常数变易法，令代入原方程得即故通解为第六章常微分方程例10用通解公式求一阶线性方程的通解解：则通解为严格的说，上式仅当时才成立。第六章常微分方程当x<0时第六章常微分方程例11(饮食与体重模型)某人每天从食物中获取10500J热量，其中5040J用于基础代谢。他每天的活动强度，相当于每千克体重消耗67．2J.此外，余下的热量均以脂肪的形式储存起来，每42000J可转化为1kg脂肪。问：这个人的体重是怎样随时间变化的，会达到平衡吗?解：依题意，进食增加10500/42000=0.25kg

基础代谢5040/42000=0.12kg

活动消耗67.2w/42000=0.0016wkg第六章常微分方程例12（药代动力学模型）假定药物以恒定速率K0向一个同质单元进行静脉滴注，K0的单位为单位时间的药量，并且药物在同质单元内按一级消除速率常数K的过程消除。K的单位为时间的倒数。试求此系统药物随时间变化规律。由于，故解：依题意单位时间内药物变化率应该等于输入与输出之差，则第六章常微分方程例13（细菌繁殖非理想环境模型），除系统本身的繁殖外有的细菌向系统外迁移，其迁移速率是时间t的线性函数，即At+B，系统内繁殖率与细菌的数目成正比，并假定t=0时，测得的细菌的数目为x(0)，求系统的细菌繁殖规律解：设为t时刻细菌数目，则解得代入则第六章常微分方程二、伯努利(Bernoulli)方程*

伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)第六章常微分方程例14求方程的通解解：这是伯努力方程，其中则

第六章常微分方程课堂练习题:求的特解解:由标准形式知则通解由得所求特解为:第六章常微分方程(雅各布第一·伯努利)

书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.第六章常微分方程6.3.1可降阶高阶微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第六章常微分方程一、型的微分方程令则两端积分得则再积分，得通解第六章常微分方程例15求方程的通解积分一次得再积分一次得最后积分得第六章常微分方程型的微分方程设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、第六章常微分方程例16求方程满足初始条件

的特解。解：设原式为分离变量并积分即第六章常微分方程用代替，得积分得代入初始条件得故特解是第六章常微分方程三、型的微分方程

令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解第六章常微分方程例17.求解故所求通解为解:原始可写为两端积分得第六章常微分方程可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令注意：

对于型的微分方程根据具体方程选择用方法2或方法3，使得降阶后所得方程容易求解第六章常微分方程6．3．2二阶线性常系数齐次方程[定义5]如果方程中未知函数的导数(或微分)的最高阶数是二阶的，且所含未知函数及其各阶导数(或微分)都是一次幂的，则称这种方程为二阶线性微分方程，一般形式为：第六章常微分方程称之为二阶线性齐次方程；称之为二阶线性非齐次方程称之为二阶线性常系数微分方程(a、b、c均为常数)称之为二阶线性常系数齐次微分方程(a、b、c均为常数)第六章常微分方程[定理1]若函数和是二阶线性常系数齐次微分方程的两个解，则其线性组合也是该方程的解。其中Cl、C2是两个任意常数。[定理2]若和是二阶线性常系数齐次微分方程的两个线性无关的特解，则－－－－－－－就是该方程的通解．其中C1和C2是两个任意常数。第六章常微分方程[定理3]设是二阶线性非齐次方程的一个特解，是其对应的二阶线性齐次方程的通解，则是二阶线性非齐次方程的通解。

定理1、2、3说明：非齐次通解齐次通解非齐次特解齐次特解齐次特解(线性无关)第六章常微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,(r

为待定常数),①所以令①的解为②其根称为特征根.第六章常微分方程1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为则微分它的特征方程为其根为两个相异实根，故则代入初始条件，得故所求特解是例18求微分方程满足初始条件的特解。第六章常微分方程2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:注意是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为第六章常微分方程例19求微分方程的通解。它的特征方程为其根为一对相等实根