二阶常系数微分方程

二阶常系数微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式为y″+py′+qy=f(x)(p,q是实数)，(12-20)若f(x)≡0，则称y″+py′+qy=0为二阶常系数齐次线性微分方程；否则，称y″+py′+qy=f(x)为二阶常系数非齐次线性微分方程.一、二阶常系数齐次线性微分方程如果y1与y2是齐次方程y″+py′+qy=0的两个特解，而且y1/y2不等于常数，则y=C1y1+C2y2是齐次方程的通解，其中C1,C2为任意常数.证

因为y1与y2是齐次方程的两个特解，所以有y″1+py′1+qy1=0，y″2+py′2+qy2=0，而y′=C1y′1+C2y′2，y″=C1y″1+C2y″2，代入齐次方程的左端，得y″+py′+qy=(C1y″1+C2y″2)+p(C1y′1+C2y′2)+q(C1y1+C2y2)

=C1(y″1+py′1+qy1)+C2(y″2+py′2+qy2)

=C1·0+C2·0=0，即y是齐次方程的解，在y1/y2不等于常数的条件下，可以证明y中含有两个独立的任意常数，所以y=C1y1+C2y2是齐次方程的通解.定理5一、二阶常系数齐次线性微分方程不等于常数这一条件很重要.如果=k(k是常数)，即y1=ky2，于是y=(C1k+C2)y2=Cy2，其中C=C1k+C2，因而y中只含有一个任意常数，所以不是齐次方程的通解.满足

2

不等于常数这一条件的两个解称为线性无关解，因此，求齐次方程的通解，就归结为求它的两个线性无关的特解.注一、二阶常系数齐次线性微分方程定理6

如果y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，而Y是其对应齐次方程的通解，则y=Y+y*是非齐次方程(12-20)的通解.证

因y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，所以y*″+py*′+qy*=f(x).又因Y是其对应齐次方程的通解，所以Y″+pY′+qY=0.于是，对y=y*+Y有y″+py′+qy=(Y+y*)″+p(Y+y*)′+q(Y+y*)=Y″+pY′+qY+y*″+py*′+qy*=0+f(x)=f(x)，所以，y=Y+y是非齐次方程(12-20)的解.又因为Y中含有两个任意常数，从而，y=Y+y中也含有两个任意常数，所以y=Y+y是非齐次方程(12-20)的通解.一、二阶常系数齐次线性微分方程由上面分析可知，要求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，关键是寻找它的两个线性无关的特解.为此，首先找一个函数y，使y″+py′+qy=0(p,q为常数).而指数函数erx(r为常数)就具备这种性质，因为erx的一阶、二阶导数都是erx的常数倍，也就是说，只要适当选取r，就可以使erx满足方程y″+py′+qy=0.于是，设y=erx

(r为待定常数)为方程y″+py′+qy=0的特解，将y=erx,y′=rerx,y″=r2erx代入方程中得erx(r2+pr+q)=0.由于erx≠0，故可取r满足方程r2+pr+q=0.这个关于r的一元二次方程我们称它为微分方程y″+py′+qy=0的特征方程.其根r1,r2为微分方程y″+py′+qy=0的特征根.一、二阶常系数齐次线性微分方程这就是说，只要r是特征根，指数函数erx就是微分方程的解.于是微分方程y″+py′+qy=0的求解问题就转化为求特征方程r2+pr+q=0的根的问题.设r1,r2是特征方程r2+pr+q=0的两个根，由于特征根r1,r2有三种情况，下面按照特征根的三种情况分别讨论微分方程y″+py′+qy=0的通解.一、二阶常系数齐次线性微分方程特征根是相异的实根1.一、二阶常系数齐次线性微分方程特征根是相等的实根2.因为r1=r2，故我们只得到一个特解y1=er1x.为此需要找到方程的另一个与y1=er1x线性无关的特解y2.可以证明y2=xer1x是方程的另一个与y1=er1x线性无关的特解.因此，方程y″+py′+qy=0的通解为y=C1er1x+C2xer1x=

(C1+C2x)er1x.一、二阶常系数齐次线性微分方程特征根是一对共轭复根3.设r1=α+βi,r2=α－βi(其中α,β是实数，且β≠0).由欧拉公式可以证明，y1=eαxcosβx,y2=eαxsinβx是方程y″+py′+qy=0的两个线性无关的特解，因此，方程y″+py′+qy=0的通解为y=eαx(C1cosβx+C2sinβx).

上述结果可综合于表12-1.一、二阶常系数齐次线性微分方程求方程y″－2y－3y=0的通解.解因为特征方程为r2－2r－3=0，即(r－3)(r+1)=0，所求特征根为r1=3,r2=－1，故方程y″－2y′－3y=0的通解为y=C1e3x+C2e－x.【例19】求方程y″+2y′+y=0的通解.解因为特征方程为r2+2r+1=0，即(r+1)2=0，所求特征根为r1=r2=－1，故方程y″+2y′+y=0的通解为y=(C1+C2x)e-x.【例20】一、二阶常系数齐次线性微分方程求方程y″+y+y=0的通解.【例21】一、二阶常系数齐次线性微分方程求以y=C1ex+C2e-4x为通解的二阶常系数齐次线性微分方程.解由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解为y=C1ex+C2e-4x,可知其特解为ex,e－4x,从而特征根为r1=1,r2=－4,相应的特征方程为r2+3r－4=0,从而可知所求的微分方程为y″+3y′－4y=0.【例22】二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为y″+py′+qy=f(x)，其中p,q为常数，f(x)是x的函数，且不恒等于零.由定理2知，求y″+py′+qy=f(x)的通解，归结为求它的一个特解及对应的齐次方程的通解，然后取和式，即求得y″+py′+qy=f(x)的通解.由前面的内容已知求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法，这样剩下的问题就是如何求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解.下面介绍一种求特解的方法——常数变易法.二、二阶常系数非齐次线性微分方程设对应齐次微分方程的通解为y=C1u1+C2u2，其中C1,C2是任意常数，u1,u2是对应齐次微分方程的两个线性无关的特解.为了求出非齐次微分方程的一个特解，我们用x的任意函数v1(x)与v2(x)分别代替C1与C2，即设y*=v1(x)u1+v2(x)u2是非齐次方程的特解.为此，将y*=v1(x)u1+v2(x)u2及它的一阶、二阶导数代入非齐次方程时应成为恒等式.二、二阶常系数非齐次线性微分方程求y*=v1(x)u1+v2(x)u2对x的导数，有y*′=v1u′1+v2u′2+(v′1u1+v′2u2).为了确定x的任意函数v1(x)与v2(x)，要求v1(x)与v2(x)满足两个条件：第一条件是v′1u1+v′2u2=0，由此，y*′=v1u′1+v2u′2+(v′1u1+v′2u2)变为y*′=v1u′1+v2u′2，再取对x的导数，得y*″=v1u″1+v2u″2+(v′1u′1+v′2u′2)，将它们全部代入非齐次方程，整理后得v1(u″1+pu′1+qu1)+v2(u″2+pu′2+qu2)+(v′1u′1+v′2u′2)=f(x).因u1,u2是齐次方程的特解，所以上式变为v′1u′1+v′2u′2=f(x)，这就是任意函数v1(x)与v2(x)需要满足的第二个条件.二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程由于常数变易法确定特解工作量较大，下面给出f(x)为多项式Pn(x)，ekxPn(x)，ekxPn(x)sinωx或ekxPn(x)cosωx形式的特解(见表12-2).二、二阶常系数非齐次线性微分方程【例23】二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程求微分方程y″－3y′+2y=xex的通解.解法1(公式法)方程对应的齐次方程的特征方程为r2－3r+2=0，其特征根为r1=1,r2=2，于是原方程对应齐次方程的通解为Y=C1ex+C2e2x.由于k=1是特征方程的单根，n=1，故应设特解为y*=x(b1x+b0)ex.因为y*′=［b1x2+(2b1+b0)x+b0］ex，y*″=［b1x2+(4b1+b0)x+2(b0+b1)］ex.【例24】二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程解法2(常数变易法)不难求出对应齐次方程的通解是Y=C1ex+C2e2x，设原方程有特解y*=v1(x)ex+v2(x)e2x，

则v1(x)与v2(x)应满足方程组二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程求微分方程y″－4y′+4y=sin2x的通解.解对应齐次方程的特征方程为r2－4r+4=0,特征根为r1=r2=2,对应齐次方程的通解是Y=(C1+C2x)e2x.f(x)=sin2x,写成eλx［Pm(x)cosωx+Rn(x)si