重庆市开州区2023-2024学年九年级上学期开学数学模拟试卷

2023-2024学年重庆市开州区九年级上学期开学数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．（4分）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.553．（4分）计算的结果是（）A． B． C．a2+5 D．a2﹣54．（4分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2021次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），在这2021次移动中，跳棋停留的顶点是（）A．A B．B C．E D．G5．（4分）若k＜＜k+1（k是整数），则k＝（）A．6 B．7 C．8 D．96．（4分）去年6月山东省部分城市最高气温（°C）如下表：城市济南德州泰安潍坊济宁青岛烟台枣庄聊城威海气温（°C）33323230302929313028则这10个城市该日最高气温的众数和中位数分别是（）A．32，32 B．32，30 C．30，32 D．30，307．（4分）一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，则下列点可能在函数图象上的是（）A．（3，﹣1） B．（2，5） C．（4，6） D．（5，6）8．（4分）如图，扇形OAB的半径OA＝9，圆心角∠AOB＝90°，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，连接DE，点H在线段DE上DE．设EC的长为x，△CEH的面积为y（）A． B． C． D．9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，连接DE，EH，FH．下列结论，其中结论正确的有（）①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③FH∥DEA．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（4分）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…以此类推，则a2021的值为（）A．2020 B．﹣2020 C．﹣1010 D．1010二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）当x时，二次根式在实数范围内有意义．12．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE＝2，则菱形ABCD的周长为．13．（4分）要使函数y＝2xn﹣1+3是一次函数，则n的值为．14．（4分）某校组织一次歌唱比赛，最终得分由歌唱水平、舞台表现、专业知识三部分组成．若把歌唱水平、舞台表现、专业知识的成绩按6：3：1计算总分，小红这三项得分依次为80分、90分和90分．那么在这次比赛中分．15．（4分）已知△ABC的面积为a．如图①，延长△ABC的边BC到点D，延长CA到点E，CA＝AE，连接DE，若△ECD的面积为S，则S＝．（用含a的式子表示）如图②，像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，得到△A1B1C1，此时，我们称△ABC向外扩展了一次；如图③，再将②中△A1B1C1的各边均顺次延长一倍，连接所得的端点，得到△A2B2C2，称将△ABC向外扩展了二次．…，若将△ABC扩展n次后得到△AnBn∁n，△AnBn∁n的面积记作Sn，则Sn＝（用含a的式子表示）16．（4分）一次函数y＝（a﹣5）x+a的图象不经过第三象限，且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的和为．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于点B，DF⊥BC于点F，AD＝5cm，CD＝12cmcm2．（提示：线段DE可看作由DF绕点D顺时针旋转90°得到）18．（4分）已知多项式（2x2+mx﹣4y+3）﹣（3x﹣y+1﹣nx2）的值与字母x的取值无关，其中m、n是常数，那么nm＝．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）（﹣5）×﹣（﹣3）+（﹣2）2÷4．20．（10分）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＜AD．（1）利用尺规作图作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：四边形ABEF是菱形．（补全下列证明过程）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∴BA＝BE，又∵AB＝AF，∴又∵AD∥BC，∴四边形ABEF为平行四边形，又∵，∴四边形ABEF是菱形．21．（10分）某农科所甲、乙试验田各有水稻3万个，为了考察水稻穗长的情况，于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图1所示：甲试验田穗长频数分布表（表1）分组/cm频数频率4.5≤x＜540.085≤x＜5.590.185.5≤x＜6n6≤x＜6.5110.226.5≤x＜7m0.207≤x＜7.52合计501.00c．乙试验田穗长在6≤x＜6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.2，6.2，6.2，6.4d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：试验田平均数中位数众数方差甲5.9245.85.80.454乙5.924w6.50.608根据以上信息，回答下列问题：（1）表1中m的值为，n的值为；（2）表2中w的值为；（3）在此次考察中，穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是；A．甲     B．乙   C．无法推断（4）若穗长在5.5≤x＜7范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为万个．22．（10分）“端午节”将至，某商家预测某种粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种400个，需要用2800元；若购进甲种粽子700个，需要4500元．（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？（2）该商家准备2500元全部用来购买甲乙两种粽子，计划销售每个甲种粽子可获利3元，销售每个乙种粽子可获利5元，那么商家至少应购进甲种粽子多少个？23．（10分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向的点A处，它沿着点A的正南方向以每小时10千米的速度航行6小时到达点C处（1）求A、B两点间的距离（结果保留一位小数）；（2）渔船到达点C后，按原航线继续航行一段时间后，船长发现生活物资未带，小岛B立即派快艇前去支援，已知快艇的速度为每小时20千米，且小岛D位于渔船的正南方向，请问谁先到达点D？（参考数据：）24．（10分）如图1，在△ABC中，∠B＝20°，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），并标注每个等腰三角形底角的度数．拓展一：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．例如，如图2，把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，使每张小纸片都是等腰三角形．（1）请你在图3中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点E在AC边上，且AD＝BD，设∠C＝x°，试画出示意图拓展二：已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，则这样的直线最多可画条．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，经过点B的直线l2：y＝kx+b交x轴于点C，且l2与l1关于y轴对称．（1）求直线l2的函数表达式；（2）点D，E分别是线段AB，AC上的点（ⅰ）如图2，当点D的坐标为（﹣2，m），α＝45°，求线段AE的长；（ⅱ）如图3，当点D的坐标为（﹣1，n），α＝90°，在直线y＝3﹣上是否存在一点G，直接写出点G的坐标；若不存在26．（10分）在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且AB＝BC．（1）如图（1），A（5，0），B（0，2），点C在第三象限，请直接写出点C的坐标；（2）如图（2），BC与x轴交于点D，AC与y轴交于点E，求证：∠ADB＝∠CDE；（3）如图（3），A（a，0），M在AC延长线上，过点M（m，﹣a），探究线段BM，AN，并证明你的结论．

2023-2024学年重庆市开州区九年级上学期开学数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、＝2，故A不符合题意；B、＝|x|，故B不符合题意；C、，被开方数不含分母，故C符合题意；D、＝＝|a﹣b|，故D不符合题意；故选：C．2．（4分）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【答案】D【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+34＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面7.55尺．故选：D．3．（4分）计算的结果是（）A． B． C．a2+5 D．a2﹣5【答案】D【解答】解：原式＝a2﹣5．故选：D．4．（4分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2021次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），在这2021次移动中，跳棋停留的顶点是（）A．A B．B C．E D．G【答案】B【解答】解：根据题意可得，前7次移动后跳棋停留的顶点分别是B、D、G、D、B、A、A，所以跳棋停留的顶点7次一个循环，2021÷4＝288……5，故第2021次移动后停留的点是B，故选：B．5．（4分）若k＜＜k+1（k是整数），则k＝（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解答】解：∵k＜＜k+1（k是整数）＜8，∴k＝5．故选：B．6．（4分）去年6月山东省部分城市最高气温（°C）如下表：城市济南德州泰安潍坊济宁青岛烟台枣庄聊城威海气温（°C）33323230302929313028则这10个城市该日最高气温的众数和中位数分别是（）A．32，32 B．32，30 C．30，32 D．30，30【答案】D【解答】解：将这组数据按由小到大的顺序排列为28、29、30、30、32、33，故该日最高气温的众数为30℃，中位数为＝30（℃），故选：D．7．（4分）一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，则下列点可能在函数图象上的是（）A．（3，﹣1） B．（2，5） C．（4，6） D．（5，6）【答案】A【解答】解：∵一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，∴k＜6，当x＝3，y＝﹣1时，得k＝﹣2；当x＝2，y＝5时，故选项B不符合题意；当x＝8，y＝6时，得k＝1；当x＝2，y＝6时，得k＝；故选：A．8．（4分）如图，扇形OAB的半径OA＝9，圆心角∠AOB＝90°，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，连接DE，点H在线段DE上DE．设EC的长为x，△CEH的面积为y（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，∴四边形ODCE是矩形，∴DE＝OC＝9，∴CD＝＝，∵EH＝DE，∴△CEH的面积为y＝××EC×DC＝＝∴此函数图象类似抛物线，故选：A．9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，连接DE，EH，FH．下列结论，其中结论正确的有（）①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③FH∥DEA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF＝FC，∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC，∴EG＝DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝CH，∠GFH＝，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF＝∠HDC，∴∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝∠AEF+∠ADF＝180°，故②正确；③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝CH，∠GFH＝，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴EH＝DH，∠EHF＝∠DHC，∴∠EHD＝∠FHC＝90°，∴△DEH是等腰直角三角形，故④正确；∴∠DEH＝45°，∴∠DEF＜45°，∴∠DEF≠∠EFH，∴FH不平行于DE，故③错误；故选：C．10．（4分）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…以此类推，则a2021的值为（）A．2020 B．﹣2020 C．﹣1010 D．1010【答案】C【解答】解：a1＝0，a4＝﹣|a1+1|＝﹣|2+1|＝﹣1，a4＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣4+2|＝﹣1，a7＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣7+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣3+4|＝﹣2，a2＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣6+5|＝﹣3，a5＝﹣|a6+6|＝﹣|﹣2+6|＝﹣3，…以此类推，经过前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，即a8n＝﹣n，则a2021＝﹣+3＝﹣1011+1＝﹣1010，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）当x≥﹣1时，二次根式在实数范围内有意义．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意，得x+1≥0．故答案为：≥﹣7．12．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE＝2，则菱形ABCD的周长为16．【答案】16．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴∠COD＝90°，∵OE＝2，且E为CD边中点，∴CD＝2OE＝5，∴菱形ABCD的周长＝4CD＝4×3＝16，故答案为：16．13．（4分）要使函数y＝2xn﹣1+3是一次函数，则n的值为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵y＝2xn﹣1+n是一次函数，∴n﹣6＝1，∴n＝2．故答案为：7．14．（4分）某校组织一次歌唱比赛，最终得分由歌唱水平、舞台表现、专业知识三部分组成．若把歌唱水平、舞台表现、专业知识的成绩按6：3：1计算总分，小红这三项得分依次为80分、90分和90分．那么在这次比赛中84分．【答案】84．【解答】解：在这次比赛中，小红的总分为，故答案为：84．15．（4分）已知△ABC的面积为a．如图①，延长△ABC的边BC到点D，延长CA到点E，CA＝AE，连接DE，若△ECD的面积为S，则S＝2a．（用含a的式子表示）如图②，像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，得到△A1B1C1，此时，我们称△ABC向外扩展了一次；如图③，再将②中△A1B1C1的各边均顺次延长一倍，连接所得的端点，得到△A2B2C2，称将△ABC向外扩展了二次．…，若将△ABC扩展n次后得到△AnBn∁n，△AnBn∁n的面积记作Sn，则Sn＝7na（用含a的式子表示）【答案】见试题解答内容【解答】解：如图①，连接AD，∵BC＝CD，∴S△ABC＝S△DAC＝a，∵AE＝AC，∴S△DAE＝S△DAC＝S△ABC＝a，∴S＝S△ECD＝S△DAE+S△DAC＝2a，故答案为：2a；如图②，同图①的方法得到，S△CA3C1＝2a，S△AB5A1＝2a，S△BB3C1＝2a，∴S阴影部分＝8a+2a+2a＝5a，∴△A1B1C3的面积为6a+a＝7a；如图③，由图②得：△A4B1C1的面积为6a+a＝7a；∴△ABC向外扩展了一次得到的△A1B7C1的面积为6a+a＝4a；∴△ABC向外扩展了二次得到的△A2B2C2，可以看作是△A1B1C5向外扩展了一次得到，∴△A2B2C7的面积为＝7△A1B6C1的面积；∴△ABC向外扩展了二次得到的△A2B4C2的面积＝72a，…，同理：△ABC向外扩展了n次得到的△AnBn∁n的面积为Sn＝7na，故答案为：7na．16．（4分）一次函数y＝（a﹣5）x+a的图象不经过第三象限，且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的和为6．【答案】6．【解答】解：∵一次函数y＝（a﹣5）x+a的图象不经过第三象限，∴，解得0≤a＜7，由＝3﹣，∵关于x的分式方程＝4﹣，a为整数，∴3﹣a＝±3，3﹣a＝﹣2，解得a＝4或a＝2或a＝5或a＝7或a＝﹣1，由上可得，a＝2或4，∵2+4＝8，∴满足条件的整数a的和为6，故答案为：6．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于点B，DF⊥BC于点F，AD＝5cm，CD＝12cm30cm2．（提示：线段DE可看作由DF绕点D顺时针旋转90°得到）【答案】30．【解答】解：∵四边形DEBF为正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，过D作DH⊥AC交AB的延长线于H，∵∠EDF＝∠CDH＝90°，∴∠EDH＝∠CDF，∵∠DEH＝∠DFC＝90°，DE＝DF，∴△DEH≌△DFC（ASA），∴DH＝CD＝12cm，阴影部分的面积＝S△ADH＝AD•DH＝2），故答案为：30．18．（4分）已知多项式（2x2+mx﹣4y+3）﹣（3x﹣y+1﹣nx2）的值与字母x的取值无关，其中m、n是常数，那么nm＝﹣8．【答案】﹣8．【解答】解：原式＝2x2+mx﹣7y+3﹣3x+y﹣6+nx2＝（2+n）x7+（m﹣3）x﹣3y+8，∵多项式的值与字母x的取值无关，∴2+n＝0，m﹣6＝0，∴n＝﹣2，m＝3，∴nm＝﹣8，故答案为：﹣8．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）（﹣5）×﹣（﹣3）+（﹣2）2÷4．【答案】﹣6．【解答】解：原式＝﹣5×2+8+4÷4＝﹣10+7+1＝﹣6．20．（10分）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＜AD．（1）利用尺规作图作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：四边形ABEF是菱形．（补全下列证明过程）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DEA∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴BA＝BE，又∵AB＝AF，∴BE＝AF又∵AD∥BC，∴四边形ABEF为平行四边形，又∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．【答案】（1）作图见解答过程；（2）∠AEB＝∠DAE，∠BAE＝∠AEB，BE＝AF，AB＝AF．【解答】解：（1）图形如图所示；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE，又∵AB＝AF，∴BE＝AF，又∵AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为：∠AEB＝∠DAE，∠BAE＝∠AEB，AB＝AF．21．（10分）某农科所甲、乙试验田各有水稻3万个，为了考察水稻穗长的情况，于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图1所示：甲试验田穗长频数分布表（表1）分组/cm频数频率4.5≤x＜540.085≤x＜5.590.185.5≤x＜6n6≤x＜6.5110.226.5≤x＜7m0.207≤x＜7.52合计501.00c．乙试验田穗长在6≤x＜6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.2，6.2，6.2，6.4d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：试验田平均数中位数众数方差甲5.9245.85.80.454乙5.924w6.50.608根据以上信息，回答下列问题：（1）表1中m的值为10，n的值为0.28；（2）表2中w的值为6.15；（3）在此次考察中，穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）A；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是A；A．甲     B．乙   C．无法推断（4）若穗长在5.5≤x＜7范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为2.1万个．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）m＝50×0.2＝10，6≤x＜7.5这一组的频率为6÷50＝0.04，∴n＝1﹣（2.08+0.18+0.22+7.20+0.04）＝0.28，故答案为：10，4.28；（2）表2中w的值为＝6.15，故答案为：6.15；（3）穗长为6.9cm的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，所以穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲，因为甲试验田的稻穗长度的方差小，所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲，故答案为：A、A；（4）估计甲试验田所有“良好”的水稻约为3×（8.22+0.2+4.28）＝2.1（万个）．故答案为：7.1．22．（10分）“端午节”将至，某商家预测某种粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种400个，需要用2800元；若购进甲种粽子700个，需要4500元．（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？（2）该商家准备2500元全部用来购买甲乙两种粽子，计划销售每个甲种粽子可获利3元，销售每个乙种粽子可获利5元，那么商家至少应购进甲种粽子多少个？【答案】（1）甲种粽子每个的进价为3元，乙种粽子每个的进价8元；（2）商家至少应购进甲种粽子300个．【解答】解：（1）设甲种粽子每个的进价为x元，乙种粽子每个的进价为y元，依题意得：，解得：．答：甲种粽子每个的进价为2元，乙种粽子每个的进价为8元．（2）设商家应购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，依题意得：3m+×5≥1900，解得：m≥300．答：商家至少应购进甲种粽子300个．23．（10分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向的点A处，它沿着点A的正南方向以每小时10千米的速度航行6小时到达点C处（1）求A、B两点间的距离（结果保留一位小数）；（2）渔船到达点C后，按原航线继续航行一段时间后，船长发现生活物资未带，小岛B立即派快艇前去支援，已知快艇的速度为每小时20千米，且小岛D位于渔船的正南方向，请问谁先到达点D？（参考数据：）【答案】（1）A、B两点间的距离约为82.0千米；（2）渔船先到达点D．【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E，在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，AC＝10×6＝60（千米），∴CE＝AC＝30（千米）AC＝30，∵∠CBE＝75°﹣30°＝45°，∠CEB＝90°，∴BE＝CE＝30千米，∴AB＝AE+BE＝30+30≈82.0（千米）；答：A、B两点间的距离约为82.3千米；（2）过B作BD⊥AC于D，由（1）知，AB＝（30+30，∠A＝30°，∴BD＝AB＝（15+15，AD＝+45）千米，∴CD＝AD﹣AC＝15+45﹣60＝（15，∵渔船的速度是每小时10千米，快艇的速度为每小时20千米，∴＞，∴渔船先到达点D．24．（10分）如图1，在△ABC中，∠B＝20°，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），并标注每个等腰三角形底角的度数．拓展一：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．例如，如图2，把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，使每张小纸片都是等腰三角形．（1）请你在图3中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点E在AC边上，且AD＝BD，设∠C＝x°，试画出示意图拓展二：已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，则这样的直线最多可画7条．【答案】见解析；拓展一：（1）见解析；（2）20或40；拓展二：7．【解答】解：如图：拓展一：（1）（2）①当AD＝AE时，∵AD＝BD，∠B＝30°，∴∠BAD＝30°，∵DE＝CD，∠C＝x°，∴∠EDC＝x°，∴∠AED＝∠ADE＝2x°，∴2x+x＝60，∴x＝20；②当AD＝DE时，∵AD＝BD，∠B＝30°，∴∠BAD＝30°，∵DE＝CD，∠C＝x°，∴∠EDC＝x°，∴∠AED＝∠ADE＝7x°，∴60＝x+180﹣4x，∴x＝40；③当AE＝DE时此时不存在；综上所述：x的值是20或40；拓展二：在△ABC中，BC＝3，AC＝7，当BD＝BC＝3时，如图5当BC＝CD＝4时，如图7，当AB＝AD时，如图8，当AD＝CD，AD＝BD，分别有4条线，∴共有7条线，故答案为：7．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，经过点B的直线l2：y＝kx+b交x轴于点C，且l2与l1关于y轴对称．（1）求直线l2的函数表达式；（2）点D，E分别是线段AB，AC上的点（ⅰ）如图2，当点D的坐标为（﹣2，m），α＝45°，求线段AE的长；（ⅱ）如图3，当点D的坐标为（﹣1，n），α＝90°，在直线y＝3﹣上是否存在一点G，直接写出点G的坐标；若不存在【答案】（1）y＝﹣x+6；（2）（i）4+2；（ii）G1（2﹣，3﹣）或G2（2，3﹣）或G3（2+，3﹣）．【解答】解：（1）∵y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（﹣6，8），6），∵l2与l2关于y轴对称，∴C（6，0），设直线l4为：y＝kx+b，将B，∴，∴直线l7的函数解析式为：y＝﹣x+6；（2）（i）将点D（﹣2，m）代入y＝x+4中﹣2+6＝m，解得：m＝5，∴D（﹣2，4），如图2，作∠DHF＝45°，∵OA＝OB＝6，∴∠EAD＝∠EDF＝∠DHF＝45°，∴∠AED+∠ADE＝135°，∠ADE+∠HDF＝135°，∴∠AED＝∠HDF，在△ADE和△HFD中，，∴△ADE≌△HFD（AAS），∴HF＝AD＝＝4，又∵OA＝OB＝OC＝7，∠AOB＝∠COB＝90°，∴△ABO和△COB均为等腰直角三角形，∴∠ABO＝∠CBO＝45°，∴∠ABC＝90°，∴∠HBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴BH＝FH＝7，∵AB＝6，∴AE＝HD＝AB+BH﹣AD＝7+4﹣6．（ii）将D（﹣2，n）代入y＝x+6中，∴D（﹣1，8），EM＝1，过D作DM⊥x轴于M，作FN⊥DM于N，∵DE＝DF，∠EDF＝∠DME＝∠FND＝90°，∴∠MDE+∠FDN＝90°，∠MDE+∠DEM＝90°，∴∠FDN＝∠DEM，在△FDN和△DEM中，，∴△FDN≌△DEM（AAS），∴FN＝DM＝5，DN＝EM＝7，∴BF＝FN﹣BN＝5﹣1＝4，EB＝MN＝DM＝DN＝5+1＝6，∴F（4，6），①当点F、O、G4三点共