湖北省武汉市2023-2024学年度第一学期九年级数学期末复习试卷解析

湖北省武汉市2023—2024学年度第一学期九年级数学期末复习试卷解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中，是中心对称图形的是（

）A．

B．

C． D．

【答案】C【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：选项A、B、D的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．2.若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（

）A.2 B.4 C.﹣4 D.﹣2【答案】B【解析】【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，故选：B．3.不透明的口袋中装有3个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则n的值最可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据题意可得蓝球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，，解得：，即n的值最可能是6．故选：C如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，且点B在斜边EF上，直角边CE交AB于D，则旋转角等于（

）A．70° B．80° C．60° D．50°【答案】B【详解】解：∵将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，∴BC=FC，∠ABC=∠F，∠A=∠E，∴∠F=∠FBC，∵∠A=∠E=40°，∠ACB=∠ECF=90°，∴∠F=∠FBC=90°﹣40°=50°，∴∠BCF=180°﹣50°﹣50°=80°，即旋转角等于80°．故选：B．5．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（

）A．40° B．50° C．35° D．55°【答案】A【分析】连接AC，由圆周角定理可求得∠ACB＝90°，∠ACD＝∠ABD，则可求得答案．【详解】如图，连接AC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABD＝50°，∴∠ACD＝∠ABD＝50°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣50°＝40°，故选A．6.平面直角坐标系中，二次函数图像上有三点，，，则、、的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断【详解】∵二次函数∴抛物线开口向上，对称轴为直线∴二次函数在上，y随x的增大而减小∵二次函数图像上有三点，，，∴点关于对称轴的对称点为∴根据增减性得：故选：B7.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（

）A.120° B.180° C.240° D.300°【答案】B【解析】【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，设圆心角为n，有=2πr=πR，∴n=180°．故选B．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：故选B9.二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（

）A．B．C． D．【答案】B【详解】∵二次函数图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线，∴b＜0．∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0．∴的图象经过第一、三、四象限；反比例函数图象在第一、三象限，只有B选项图象符合．故选B．10.无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（

）A.a＞0B.a≤C.a≤或a＞0D.a≥或a＜0【答案】C【解析】【分析】因为两个图像总有公共点，所以将两个解析式进行联立，再根据跟的判别式进行判断即可求出a的取值范围．【详解】解：由题意得，∵无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，∴将y＝kx﹣2k+2代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：，整理得：，∴，∵，∴，解得：a≤或a≥0，a=0不符合题意，舍去，∴a的取值范围是a≤或a＞0．故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.抛物线的顶点坐标为．【答案】(1，8)【分析】根据题意可知，本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．【详解】解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，)∴的顶点坐标为(1，8)故答案为：(1，8)12．若2是关于的方程的一个根，则．【答案】4【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，故答案为：4．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．【答案】【解析】【分析】先判断黑色区域的面积，再利用概率公式计算即可【详解】解：因为正方形的两条对角线将正方形分成面积相等的四个三角形，即四个黑色三角形的面积等于一个小正方形的面积，所以黑色区域的面积为2个小正方形的面积，而共有9个小正方形则有小球停留在黑色区域的概率是故答案为：14.如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是________【答案】【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．【详解】解：∵由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，∴cm，又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，由旋转的性质可知：，且，∴为等边三角形，∴．15.如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝4，BC＝6时，则阴影部分的面积为．【答案】12【分析】根据勾股定理求得，由图形可得，阴影部分的面积为两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积，即可求解．【详解】解：在中，，AC＝4，BC＝6∴则阴影部分的面积故答案为12已知二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④；⑤．在以上5个结论中，其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】①②③⑤【分析】①根据时，，可以判断①正确；②根据时，，可以判断②正确；③根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴的位置，判断出a、b、c的符号，即可判断③正确；④根据函数图象，先判断出时，，即可判断出④错误；⑤先根据抛物线的对称轴得出，再根据时，，即可判断⑤正确．【详解】解：①根据图像可知，时，，∴，故①正确；②根据函数图像可知，时，，∴，故②正确；③∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线与y轴的交点为，∴，∵对称轴在y轴的左侧，∴∴，∴，故③正确；④∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴右边的交点在原点与之间，∴抛物线与x轴左边的交点在与之间，∴时，，∴，故④错误；⑤∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，∵时，，∴，∴，即，故⑤正确；综上分析可知，一定成立的是①②③⑤．故答案为：①②③⑤．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原方程根据公式法求解即可；（2）原方程利用分解因式法求解．【详解】（1）方程中，，∴，∴，∴；（2）原方程可变形为，∴或，解得．18．如图，在中，已知，，将绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若恰好经过点A，设与相交于点F，求的大小．【答案】【分析】根据“等边对等角”与“三角形内角和定理”求得大小，然后根据旋转的性质得，，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得解．【详解】解：，，，，将绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若恰好经过点A，，，在中，，，，，；的大小为．19.为庆祝党的二十大胜利召开，学校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．根据图表信息，回答下列问题：等级成绩（x）人数AaB25C20D5（1）表中________；D等级对应的扇形圆心角为______度；（2）若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有______人；（3）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．【答案】（1）50，18；（2）人；（3）．【解析】【分析】（1）先由B等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到a的值，再根据D占总人数的比例，求出圆心角度数；（2）利用样本估计总体的方法求出全校成绩为A等级的人数；（3）先列出表格，将所有情况列举，利用概率公式即可求解．【小问1详解】解：总人数为人，∴，D等级对应的扇形圆心角，故答案为：50，18；小问2详解】解：若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A等级的学生共有人；【小问3详解】解：列表如下：甲乙丙丁甲甲乙甲丙甲丁乙甲乙乙丙乙丁丙甲丙乙丙丙丁丁甲丁乙丁丙丁共有12种情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，∴P(甲、乙两人至少有1人被选中)．20.如图，在ABC中，点A(﹣3，﹣1)，B(1，1)，C(0，3)．（1）将ABC绕点O顺时针旋转90°，点A，B，C的对应点A1，B1，C1均落在格点上，画出旋转后的A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；（2）将ABC绕点A旋转后，B，C对应点B2，C2均落在格点上，画出旋转后的AB2C2，并直接写出点B2，C2的坐标；（3）若线段B1C1绕某点旋转后恰好与线段B2C2重合，直接写该点的坐标为．【答案】（1）图见解析，A1(-1，3)，B1(1，-1)，C1(3，0)；（2）图见解析，B2(-1，-5)，C2(1，-4)；（3）D(1，)．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可解决问题；（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可解决问题；（3）画出图形，根据中点坐标计算写出即可．【详解】（1）如图A1B1C1就是ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形，A1(-1，3)，B1(1，-1)，C1(3，0)；如图：将ABC绕点A顺时针旋转90°后，由于B，C的对应点B2，C2均落在格点上，则AB2C2，是符合要求旋转后的图形，B2(-1，-5)，C2(1，-4)；（3）当线段B1C1绕点D(1，)旋转时，则B1C1与B2C2重合，如图，连接，可得，∴四边形为平行四边形，连接交于点D，∴点D为的中点，∵，∴．21.如图，为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，于E，于F．(1)求证：是⊙O的切线；(2)若，求的长度．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）连接，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，得出，最后根据，即可得出结论；过点O作，垂足为H，可得，再由平行线的性质得出，再证明，利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）连接．∵点D是的中点，∴，∵，∴．∴．∴．∴．∵于E，∴．∴．∴．又∵是半径，∴是⊙O的切线．（2）过点O作，垂足为H．∴，∵，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克．（1）请你直接写出日销售利润y（元）与售价x（元/千克）之间的函数关系式；（2）若每日销售利润达到800元，售价应定为多少元？（3）当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元．【答案】（1）y＝－x2＋140x－4000；（2）售价应定为每千克60元或每千克80元；（3）当售价定为每千克70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元．【分析】（1）根据题意可以得到日销售量为，根据销售利润=每千克利润日销售量，即可得出答案；（2）根据题意把y＝800代入解析式，从而可以解答本题；（3）根据（1）中的关系式化为顶点式即可解答本题．【详解】(1)由题意得：y=（x-40），y＝－x2＋140x－4000；(2)当y＝800时，由y＝－x2＋140x－4000，得－x2＋140x－4000＝800，解得x1＝60，x2＝80，故售价应定为每千克60元或每千克80元；(3)∵y＝－x2＋140x－4000＝－(x－70)2＋900，又由a＝－1＜0可知抛物线的开口向下，∴当x＝70时，y最大值为900，故当售价定为每千克70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，D是射线AB上的一动点，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．（1）如图1，△CDE是_______三角形．（2）如图2，猜想BC，BD，BE之间的数量关系，并证明你的结论．（3）在点D移动过程中．当∠DEB＝30°时，求BD的长．【答案】（1）等腰直角；（2）BC+BD＝BE，证明见解析；（3）BD的长为或．【分析】（1）根据旋转的性质可得∠DCE=90°，CD=CE，即可得△CDE是等腰直角三角形；（2）根据旋转的性质可得∠DCE=90°，CD=CE，根据角的和差关系可得∠ACD=∠BCE，利用SAS可证明△ACD≌△BCE，可得BE=AD，根据等腰直角三角形的性质可得AB=BC，根据线段的和差关系即可得答案；（3）根据SAS可证明△ACD≌△BCE，可得∠CBE=∠A=45°，可得∠ABE=90°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得BE＝BD，分D在B的左边和右边两种情况，利用线段的和差关系列方程求出BD的值即可得答案．【详解】（1）∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角（2）BC+BD＝BE，证明如下：∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴BE=AD，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴AB=BC，AD=AB+BD，∴BE＝AB+BD＝BC+BD；（3）∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=45°，AD=BE，∴∠ABE=90°，∵∠DEB＝30°，∴DE=2BD，∴BE＝=BD，如图1，当D在B的左边时，∴AD＝BE＝AB﹣BD＝BC﹣BD；∴BD＝BC﹣BD，∵AC=BC=4，解得：BD＝．如图2，当D在B的右边时，当∠DEB＝30°时，∴BE＝BD，由（2）可得：BE=BD＝BC+BD；解得BD＝．综上所述：BD的长为或．抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D（m，3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标；（3）如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作⊙M，⊙M的弦QF∥y轴，求证：点F在定直线上．【答案】（1）