山西省运城市北景中学高三数学理联考试题含解析

山西省运城市北景中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A.

B.

C.

D.参考答案：C2.过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A．2x+y﹣5=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣7=0参考答案：B【考点】圆的切线方程．【分析】由题意画出图形，可得点（3，1）在圆（x﹣1）2+y2=r2上，求出圆心与切点连线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：如图，∵过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=r2的切线有且只有一条，∴点（3，1）在圆（x﹣1）2+y2=r2上，连接圆心与切点连线的斜率为k=，∴切线的斜率为﹣2，则圆的切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣3），即2x+y﹣7=0．故选：B．3.若抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为A.

B.

C.

D.参考答案：4.圆和圆的位置关系是A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 参考答案：B略5.复数的实部与虚部之和为（

）A．-3

B．4

C．3

D．-11参考答案：D考点：复数的四则运算．6.函数f（x）=lnx+3x﹣7的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：C【考点】二分法的定义．【分析】由函数的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+3x﹣7在其定义域上单调递增，∴f（2）=ln2+2×3﹣7=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3+9﹣7=ln3+2＞0，∴f（2）f（3）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（2，3），故选：C．【点评】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．7.曲线在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是

A．-9

B．-3

C．9

D．15参考答案：C

本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，难度较小。因为，所以点P（1，11）在曲线上，所以，所以切线方程为，x=0时，y=-3+12=9，故选C。8.如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是(

)A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解答】解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．【点评】本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．9.已知函数,把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前n项的和,则=

(

)

A．15 B．22 C．45 D．50参考答案：C略10.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，，点P为三角形ABC所在平面上一动点，且满足=1，则的取值范围是A.

B.

C.[-2,2]

D.参考答案：D根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则A（0，2），B（2，0），C（0，0），由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；则=（cosθ，sinθ），又+=（2，2）；∴?（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），当θ+=，即θ=时，?（+）取得最大值2，当θ+=，即θ=时，?（+）取得最小值﹣2，∴?（+）的取值范围是[﹣2，2]．故选：D．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.是函数的导数，则的值是

.参考答案：12.如图所示，⊙O的两条割线与⊙O交于A、B、C、D，圆心O在PAB上，若PC=6，CD=7，PO=12，则AB=

．参考答案：16考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由切割线定理得PC?PD=PA?PB，设圆半径为r，则6（6+）=（12﹣r）（12+r），由此能求出AB的长．解答： 解：设圆半径为r，∵⊙O的两条割线与⊙O交于A、B、C、D，圆心O在PAB上，∴PC?PD=PA?PB，∵PC=6，CD=7，PO=12，∴6（6+）=（12﹣r）（12+r），解得r=8，∴AB=2r=16．故答案为：16．点评：本题考查圆的直径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．13.下列几个命题：①不等式的解集为；②已知均为正数，且，则的最小值为9；③已知，则的最大值为；④已知均为正数，且，则的最小值为7；其中正确的有

．（以序号作答）参考答案：2,414.自圆x2+y2=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为

．参考答案：（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）【考点】J3：轨迹方程．【分析】设出AB的中点坐标，利用中点坐标公式求出B的坐标，据B在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．【解答】解：设AB中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，B点坐标为（2x﹣2，2y）．∵B点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AB中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．不包括A点，则弦的中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）故答案为：（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）．15.坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）（Ⅰ）判断直线圆的位置关系；（Ⅱ）若椭圆的参数方程为（为参数），过圆的圆心且与直线垂直的直线与椭圆相交于两点，求.参考答案：解：（Ⅰ）将直线极坐标方程为化为直角坐标方程：.将圆的参数方程化为普通方程：，圆心为，∴圆心到直线的距离为，∴直线与圆相离。………………3分（Ⅱ）将椭圆的参数方程化为普通方程为，又∵直线：的斜率，∴直线的斜率为，即倾斜角为，则直线的参数方程为：，即，把直线的参数方程代入得：由于，故可设是上述方程的两个实根，则有又直线过点，故由上式及的几何意义得：.………………7分

略16.下列命题中：①“α=2kπ+（k∈Z）”是“tanα=”的充分不必要条件；②已知命题P：存在x∈R，lgx=0；命题Q：对任意x∈R，2x＞0，则P且Q为真命题；③平行于同一直线的两个平面平行；④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本中心点为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08其中正确命题的序号为

．参考答案：①②④考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：直接由充分必要条件的判断方法判断①；先判断命题P、q的真假，再由复合命题的真值表判断②；由线面平行的关系判断③，由回归直线的斜率的估计值和样本中心点的坐标求出回归直线方程判断④．解答： 解：对于①，由α=2kπ+（k∈Z），得tanα=，反之，由tanα=，得α=kπ+（k∈Z），∴“α=2kπ+（k∈Z）”是“tanα=”的充分不必要条件，①正确；对于②，∵lg1=0，∴命题P：存在x∈R，lgx=0为真命题，由指数函数的值域为（0，+∞），得命题Q：对任意x∈R，2x＞0为真命题．则P且Q为真命题，②正确；对于③，平行于同一直线的两个平面可能平行，也可能相交，③错误；对于④，已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本中心点为（4，5），∴a=5﹣1.23×4=0.08，则回归直线方程为=1.23x+0.08，④正确．∴正确命题的序号是①②④．故答案为：①②④．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了空间中的线面关系，明确回归直线必过样本中心点是判断④的关键，是中档题．17.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则该双曲线的离心率e是

．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，则|OM|=a，OM⊥PF1，取PF1的中点N，连接NF2，由于|PF2|=|F1F2|=2c，则NF2⊥PF1，|NP|=|NF1|，由|NF2|=2|OM|=2a，则|NP|=2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a，即2b=c+a，4b2=（c+a）2，即4（c2﹣a2）=（c+a）2，4（c﹣a）=c+a，即3c=5a，则e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）设函数．(1)若不等式成立，求实数的取值范围；(2)当时，证明：．参考答案：19.（10分）（2015?泰州一模）已知矩阵A=，B=，若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′：x+y﹣2=0，求直线l的方程．参考答案：【考点】：几种特殊的矩阵变换．【专题】：矩阵和变换．【分析】：计算出AB﹣1的值，设出变换，计算即可．解：∵，∴，∴，设直线l上任意一点（x，y）在矩阵AB﹣1对应的变换下为点（x'，y'），∴．代入l'，l'：（x﹣2y）+（2y）﹣2=0，化简后得：l：x=2．【点评】：本题考查了矩阵的变换，属基础题．20.

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为，已知直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．参考答案：（1）由已知，由，消去得：普通方程为，化简得（5分）（2）由sin(-)+=0知，化为普通方程为x-y+=0圆心到直线的距离=，由垂径定理（10分）21.某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如下表所示：

ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选