湖南省衡阳市耒阳市冠湘中学高三数学理摸底试卷含解析

湖南省衡阳市耒阳市冠湘中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围是A．[2，6] B．[-6，-2] C．（2，6） D．（-6，-2）参考答案：A2.复数的虚部是 A．i B．-i C．1 D．-1参考答案：C【知识点】复数综合运算解：因为=

所以虚部是1

故答案为：C3.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=（） A．1 B．﹣1 C．2 D．参考答案：A【考点】等差数列的性质． 【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题． 【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，由等差数列的性质可得 a1+a9=2a5，a1+a5=2a3， ∴====1， 故选A． 【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）an． 4.若=1+i（a，b∈R），则（a+bi）2=（）A．0 B．﹣2i C．2i D．2参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，求得a+bi，代入（a+bi）2，展开后得答案．【解答】解：∵=1+i，∴，则（a+bi）2=（1+i）2=2i．故选：C．5.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填(

) A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？参考答案：A考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=5时，根据题意此时满足条件，退出循环，输出S的值为57，从而即可判断．解答： 解：执行程序框图，可得k=2，S=4；k=3，S=11；k=4，S=26；k=5，S=57；根据题意此时，满足条件，退出循环，输出S的值为57．故判断框内应填k＞4．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确得到退出循环时k，S的值是解题的关键，属于基础题．6.某学校高中每个年级只有三个班，且同一年级的三个班的羽毛球水平相当，各年级举办班级羽毛球比赛时，都是三班得冠军的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A7.函数的大致图象是(

)

参考答案：C8.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A9.如果数列，，，…，，…是首项为1，公比的等比数列，则等于（

）A．32

B．64

C．-32

D．-64参考答案：A10.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（

）． A． B． C． D．参考答案：A如图所示过，分别作准线的垂线，垂足分别为，．∵，又∵，∴．根据抛物线定义知，由知，，∴直线．将代入上式，可得，，∴，∴．∴选择．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,θ∈[0,2π))为_________．参考答案：略12.若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为

.参考答案：答案：1513.在中，角的对边分别为，，，，则_______．参考答案：试题分析：由正弦定理得：即，∴，∵，∴.考点：正弦定理.14.若直线的倾斜角是,则

(结果用反三角函数值表示).参考答案：15.已知曲线与直线交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为、，则__________参考答案：0【分析】曲线即圆曲线的上半部分，因为圆是单位圆，所以，，，，联立曲线与直线方程，消元后根据韦达定理与直线方程代入即可求解.【详解】由消去得，则，由三角函数的定义得故.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，直线与圆的应用.此题关键在于曲线的识别与三角函数定义的应用.16.设，，若//，则

．参考答案：17.展开式中，的系数为

（用数字作答）．参考答案：的展开式的通项为，所以，，所以的系数为，.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l经过抛物线的焦点且与此抛物线交于两点，，直线l与抛物线交于M，N两点，且M，N两点在y轴的两侧．（1）证明：y1y2为定值；（2）求直线l的斜率的取值范围；（3）已知函数在处取得最小值m，求线段MN的中点P到点的距离的最小值（用m表示）参考答案：（1）证明：由题意可得，直线的斜率存在，故可设的方程为，联立，得，则为定值；（2）由（1）知，，则，即．联立得：，两点在轴的两侧，，，故直线的斜率的取值范围为．（3）设，则，．又，，故点的轨迹方程为，而，在处取得最小值，．19.已知椭圆的右焦点F2是抛物线的焦点，过点F2垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的线段长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q．请问：在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）抛物线的焦点坐标为(1,0)，则椭圆C过点则解得（4分）（Ⅱ）假设在x轴上存在定点满足条件，设，则由,得.

∴,即，.

6分此时,∴（8分）,,=，10分.∴存在点,使得.

（12分）20.（12分）如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点。

（1）求证：AC⊥SBD；

（2）若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论。

参考答案：解析:证明：（1）∵底面ABCD是菱形，O为中心。∴AC⊥BD，…………3分又SA=SC，∴AC⊥SO，而SOBD=0，……5分∴AC⊥面SBD。……6分（2）取棱SC中点M，CD中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN，………………8分证明：连结EM、EN，∵E是BC中点，M是SC中点，∴EM//SB，同理EN//BD，∵AC⊥面SBD∴AC⊥SB∴AC⊥EM，………………9分同理AC⊥EN，又EMEN=E，∴AC⊥面EMN，……10分因此，当P点在线段MN上运动时，总有AC⊥EP，………………12分

21.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？参考答案：解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，，故的分布列为：621-20.630.250.10.02（2）（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为依题意，，即，解得所以三等品率最多为.略22.（本题满分12分）已知是等差数列的前项和，满足；是数列的前项和，满足：。（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和参考答案：（1）解：设等差数列的公差，则有所以