广东省深圳市明德外语实验学校高二数学文联考试题含解析

广东省深圳市明德外语实验学校高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为(

) A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinα﹣cosα+3 C．3sinα﹣cosα+1 D．2sinα﹣cosα+1参考答案：A考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：利用余弦定理求得正方形的边长，则正方形的面积可求得．利用正弦定理分别求得小等腰三角形的面积，最后相加即可．解答： 解：正方形的边长为=，∴正方形的面积为2﹣2cosα，等腰三角形的面积为?1?1?sinα=sinα，∴八边形的面积为4?sinα+2﹣2cosα=2sinα﹣2cosα+2，故选：A．点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．解题的关键是把八边形拆分成三角形和正方形来解决．2.若是1-a和1+a的等比中项，则a+3b的最大值为

（

）A.1

B.2

C.3 D.4参考答案：B3.方程表示的曲线是（

）A.双曲线

B.椭圆

C.双曲线的一部分

D.椭圆的一部分参考答案：D略4.从1，2，3，4中任取两个数，记作a，b，则两数之和a+b小于5的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先同基本事件总数n=，再求出两数之和a+b小于5包含的基本事件，由此能求出两数之和a+b小于5的概率．【解答】解：从1，2，3，4中任取两个数，记作a，b，基本事件总数n=，两数之和a+b小于5包含的基本事件有：（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共有m=4个，故两数之和a+b小于5的概率p=．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．5.若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．﹣1或﹣2参考答案：A考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，实部为0，虚部不为0，求解不等式组即可确定x的值．解答：解：（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则解得：x=1故选A点评：本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题．6.若展开式中各项二项式系数之和为，展开式中各项系数之和为，则=

（

）(A).

(B).

(

C).

(

D).参考答案：B略7.某容量为180的样本的频率分布直方图共有n(n>1)个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余n--1个小矩形的面积之和的，则第一个小矩形对应的频数是(

)A.20

B.25

C.30

D.35 参考答案：C8.是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数，若，则必有（

）Ks*5uA．

B．

C．

D．

参考答案：B略9.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A．B．C．D．参考答案：B10.若成等比数列，是的等差中项，是的等差中项，则(

)

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线与圆相交于A、B两点，且，则______________.参考答案：12.若数列{an}是等差数列，则数列也是等差数列；类比上述性质，相应地，{bn}是正项等比数列，则也是等比数列

．参考答案：

13.有下列命题：①命题“?x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x2+1≤3x”；②设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；③若p（x）=ax2+2x+1＞0，则“?x∈R，p（x）是真命题”的充要条件为a＞1；④若函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0，f（x）=3x+3x+a，则f（﹣2）=﹣14；⑤不等式的解集是．其中所有正确的说法序号是．参考答案：①②③④考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：①根据命题否定的定义对其进行判断；②p为真则￢p为假，反过来p为假，￢p为真，利用此定义进行判断；③对“?x∈R，方程ax2+2x+1＞0，可得判别式小于0，可以推出a的范围；④根据奇函数过点（0，0）求出a值，根据x≥0的解析式，可以求出x＜0时的解析式，把x=﹣2进行代入；⑤解不等式要移项，注意分母不为零，由此进行判断；解答：解：①已知命题“?x∈R，使得x2+1＞3x”对其进行否定：“?x∈R，都有x2+1≤3x”，故①正确；②若“p∨q”为假命题，可得p与q都为假命题，则￢p与￢q都为真命题，则“￢p∧￢q为真命题”，故②正确；③“?x∈R，p（x）=ax2+2x+1＞0，可得△＜0，得4﹣4a＜0，得a＞1，故③正确；④函数f（x）为R上的奇函数，可得f（0）=0，推出a=﹣1，得x≥0，f（x）=3x+3x﹣1，令x＜0得﹣x＞0，f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x）=﹣f（x）=3﹣x﹣3x﹣1，f（x）=﹣3﹣x+3x+1，f（﹣2）=﹣32﹣6+1=﹣14；⑤不等式，，可得，从而求解出﹣≤x≤3且x≠1；故⑤错误；故答案为①②③④；点评：此题主要考查命题的真假判断，涉及方程根与不等式的关系，不等式的求解问题，奇函数的解析式求法，考查知识点多且全面，是一道综合题；14.程序如下图：若执行程序时输入10,12,8，则输出的结果为______________.

参考答案：略15.若a≥0,且z|z|+az+i=0,则复数z=

.参考答案：16.一组数据23,27,20,18，x,12，它们的中位数是21，即x是________．参考答案：2217.已知函数，其导函数为，则=

参考答案：；略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，（1）求证：函数在上是增函数．（2）已知的三条边长为、、．利用（1）的结论，证明．参考答案：解析:（1）函数在上是增函数.

…………5分

另解：用单调性定义证明也酌情给分。(2)的三条边长为、、.

由（1）的结论，可知，即

………①

…………9分

又由，

………

②

由①，②可得：

…………14分19.（14分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．参考答案：（I）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（II）依题并由（I）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（I）函数v（x）的表达式（II）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．20.（本小题满分7分，其中第⑴问4分，第⑵问3分）在正方体中⑴求证：⑵求异面直线与所成角的大小.

参考答案：⑴略；⑵⑴连结，由正方体性质，得⑵连结、，由是异面直线与所成的角，又是正三角形，所以，即异面直线与所成的角是21.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上横坐标为3的点，且P到抛物线焦点F的距离等于4．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A、B两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段AB、CD的中点，求△FMN面积的最小值．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．【分析】（1）利用抛物线的定义列出方程求解即可．（2）求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程，联立方程组，求出M、N的坐标，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解三角形的面积的最小值即可．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的准线为，由题意，，p=2．

…所以所求抛物线的方程为y2=4x．

…（2）F（1，0），由题意，直线l1、l2的斜率都存在且不为0，设直线l1的方向向量为（1，k）（k＞0），则（1，k）也是直线l2的一个法向量，所以直线l1的方程为，即y=k（x﹣1），…直线l2的方程为y=﹣（x﹣1），即x+ky﹣1=0．

…设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0…则=1+．=

…同理可得，．

…所以，|MF|==，|FN|==，∴△FMN面积：?=2（k+）≥4=4．

…所以，当且仅当k=，即k=1时，△FMN的面积取最小值4．…22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在a，b，使得在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.参考答案：(1)见详解；(2)或.【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小