高中导数市公开课一等奖省赛课微课金奖

改变率及导数1

导数计算2

导数在研究函数中应用3

生活中优化问题举例4

定积分概念5

第一章导数及其应用1/93§1.1改变率及导数问题1

气球膨胀率很多人都吹过气球，回想一下在吹气球过程中,可以发觉,伴随气球内空气容量增加,气球半径增加得越来越慢.从数学角度,怎样描述这种现象呢？？？？想一想怎样描述呢?2/93

若将半径r表示为体积V函数,那么：

当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了：

我们知道，气球体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间关系是：气球平均膨胀率为：3/93

能够看出：伴随气球体积逐步变大,它平均膨胀率逐步变小

当空气容量V从1L增加到2L,气球半径增加了：

气球平均膨胀率为：

4/93

当空气容量从V1增加到V2时,气球平均膨胀率是多少?思索？5/93问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面高度h(单位:m)与起跳后时间t(单位:s)存在函数关系：假如用运动员在某段时间内平均速度

描述其运动状态,那么:

在0≤t≤0.5这段时间里,

在1≤t≤2这段时间里,6/93

计算运动员在这段时间里平均速度,并思索下面问题:

(1)运动员在这段时间里是静止吗?

(2)你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗?探7/931.1.1平均改变率定义：式子称为函数从

到平均改变率.令则平均改变率可表示为：注：并不是表示与乘积也是一样8/93

了解1，式子中、值可正、可负，但

值不能为,值能够为2，若函数为常函数时，3,变式为何不能为零?假如无限靠近零表示什么?9/93探索？？观察图像平均改变率表示什么？OABxyx1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB斜率若无限靠近，此时平均改变率又表示什么又表示什么？10/93

1、已知函数

图象上一点A(-1,-2)及临近一点

,则=（）

A3

BC

D2、求y=x2在x=x0附近平均速度。

做两个题吧！11/93

求平均改变率普通步骤

求函数增量

计算平均改变率12/931.1.2导数概念

在高台跳水运动中,平均速度不能反应他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体某一时刻速度称为

瞬时速度.

又怎样求瞬时速度呢?13/93平均改变率几何意义平均改变率近似地刻画了曲线在某一区间上改变趋势.那么怎样准确地刻画曲线在一点处改变趋势呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度14/93

平均改变率几何意义时，在这段时间内

时,

在

这段时间内当△t=–0.01时，当△t=0.01时，当△t=–0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………当△t=0.001时,15/93

观察

从物理角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时瞬时速度.所以,运动员在t=2时瞬时速度是–13.1.16/93为了表述方便我们用表示当t=2,注：确定值-13.1，我们称是17/93探究1、运动员在某一时刻瞬时速度怎样表示？2、18/93导数定义普通地，函数y=f(x)在时瞬时改变率是：我们称它为函数即：注解：19/93

关于导数几点说明：

20/93

由导数定义可知,求函数y=f(x)导数普通方法:

求函数改变量2.求平均改变率3.求值一差、二化、三极限21/93例题

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不一样产品,需要对原油进行冷却和加热.假如第

h时,原油温度（单位：）为

(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度瞬时改变率,并说明它们意义.解：在第2h和第6h时,原油温度瞬时改变率就是和依据导数定义,22/93

所以，同理可得在第2h和第6h时,原油温度瞬时改变率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h速率上升.GETTINGHIGHERGAP23/93

练习:计算第3h和第5h时原油瞬时改变率,并说明它们意义.

假如质点A按规律则在t=3s时瞬时速度为A.6B.18

C.54D.81课堂练习24/93

25/931.1.3导数几何意义

观察26/93

分析：割线斜率和此切线斜率有什么关系呢？想一想，算一算！27/93

导数几何意义：函数在某一点导数，就是该点切线斜率。练习：求：结论我得好好想想28/93§1.2导数计算1.2.1几个惯用函数导数

其中c为常数29/93

所以，30/93

它在时刻时速度为某物体作变速直线运动，函数，则能够解释为若表示旅程关于时间31/93

32/93

这个函数又如何描述呢？33/93

34/93

1.2.2基本初等函数导数公式及四则运算法则

我要想法记住这些！35/93

导数运算法则1、2、3、36/93例题

37/93

导数运算法则推广函数和与差导数运算法则可推广到任意有限个可导函数和(或差)．

38/93例题

[分析]这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到简单函数，求导时，可直接利用函数加减求导法则进行求导．39/93例题

40/93

1.2.3复合函数求导

1、引例(1)求导数解1

解2 因为所以解1是错误。

因为 是基本初等函数，而是复合函数。思索：(2)求y=lnsinx导数??41/93

2、复合函数定义设

而为关于函数且函数值域包含在

定义域内，那么

经过

联络也是自变量

函数，我们称

为

复合函数，记为

,其中

称为中间变量42/93

3、复合函数求导法则

43/93

例题例1、求导数。例2、求导数。解：小标注44/93§1.3导数在研究函数中应用45/931.3.1函数单调性与导数

右图（1）表示跳水运动员高度h随时间t改变函数图像，（2）表示高台跳水运动员速度v随时间t改变函数图像思索？运动员从起点跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间运动状态有什么区分?观察46/93经过观察图像能够发觉：

①运动员从起跳到最高点,离水面高度h随时间t增加而增加,即h(t)是增函数.对应地,

②从最高点到入水,运动员离水面高度h随时间t增加而降低,即h(t)是减函数.对应地,47/93观察下面一些函数图象,探讨函数单调性与其导函数正负关系.

48/93

能够发觉上面四幅图有一个共同特征：实际上上述特征适合全部函数，它是全部函数特征。（函数必须存在导函数）

在某个区间(a,b)内,假如,那么函数在这个区间内单调递增;假如,那么函数在这个区间内单调递减.假如在某个区间内，那么函数有什么特征？49/93

例题题1已知导函数以下信息:解：当1<x<4时,可知在此区间内单调递增;当x>4,或x<1时,可知在此区间内单调递减;当x=4,或x=1时,当1<x<4时,当x>4,或x<1时,当x=4,或x=1时,试画出函数图象大致形状.50/93

例题题1已知导函数以下信息:解：函数图像如右：当1<x<4时,当x>4,或x<1时,当x=4,或x=1时,试画出函数图象大致形状.xyO1451/93例题题2判断以下函数单调性,并求出单调区间:解：（1）因为所以（2）因为所以所以,函数在上单调递增.当,即时,函数单调递增;当，即时，函数单调递增52/93

例题题2判断以下函数单调性,并求出单调区间:解：（3）因为所以（4）因为所以

所以,函数在上单调递减.53/93例题题2判断以下函数单调性,并求出单调区间：解：当,即

时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.54/93

题3如图,水以常速(即单位时间内注入水体积相同)注入下面四种底面积相同容器中,请分别找出与各容器对应水高度h与时间t函数关系图象.

55/93普通地,假如一个函数在某一范围内导数绝对值较大,那么函数在这个范围内改变得快。这时,函数图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数图象就“平缓”一些.

如图,函数在或内图象“陡峭”,在或内图象平缓.56/93

求可导函数

单调区间步骤：(1)求(2)解不等式

(或

)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）证实可导函数

在(a,b)内单调性方法：(1)求(2)确认

在(a,b)内符号(3)作出结论57/931.3.2函数极值与导数问题情境观察右下列图为函数

图象,问题1：函数在

函数值与它附近全部各点函数值关系？我们说

是函数一个极大值；

问题2：函数在

函数值与它附近全部各点函数值关系？我们说

是函数一个极小值。x0yBA258/931、定义函数极值（extremevalue）

普通地，设函数

在

及其附近有定义假如

值比

附近全部各点函数值都大，则称

是函数一个极大值假如

值比

附近全部各点函数值都小，则称

是函数一个极小值x0yB2A注：

------极值点

------极值点59/93

2、探索思索：①函数

在哪些点取得极大值？哪些点取得极小值？②

在这些点导数值是多少？③在这些点附近，

导数符号有什么规律？④函数极大值一定大于极小值吗?60/93例题求极值解:∵

,由

解得

.当

改变时,

、

改变情况以下表：

f(x)

f

(x)

x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+00-+极大值28/3∴当

时,

极小值=28/3；当

时,

极大值=-4/3.61/93求函数极值步骤：1、求导数2、解方程3、列表：4、结论：1):假如在

附近左侧

右侧

,那么

是极大值;2):假如在

附近左侧

右侧

,那么f(x0)是极小值.62/93

探索思索:

导数值为0点一定是函数极值点吗?函数导数为零点,不一定是该函数极值点.63/931.3.3函数最大（小）值与导数上一小节问题：函数极大值一定大于极小值吗?如又下列图：极大值：极小值：但：由此可见：极大值未必就比极小值大。问题回顾64/931.3.3函数最大（小）值与导数我们知道，极值反应是局部性质，而不是函数在整个定义域性质，函数极值是反应了在某一段性质，在这一段上是最大（小）值，但在实际问题中，我们更关心是整个定义域上最大（小）值。那么怎样来求在定义域上最大（小）值呢？疑问？65/93

最值求法定义：函数在某一闭区间最大值、最小值统称为最值。66/93

最值求法由以上两图可知，一个函数最值有可能在极值点处取得，也有可能在端点处取得。普通地，求函数在内最值步骤以下：1、求函数内极值2、求端点值3、比较极值与端点值，最大就是最大值，最小就是最小值67/93例题求函数在上最值。解：1、令2、

3、68/93

§1.4生活中优化问题举例

导数例1例3总结例269/93例1海报版面尺寸设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，先让你设计一张如图所表示竖向张贴海报，需要版心面积为128，上下两边各空2，左右各空1，怎样设计海报尺寸才能使四面空白面积最小？解：设版心高为：，则版心宽为:此时四面空白面积为：求导：，令70/93例2饮料瓶大小对饮料企业利润影响（1）你是否注意过，市场上等量小包装物品普通

比大包装要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料企业利润越大？背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装某种饮料。瓶子制造成本是

分，其中

是瓶子半径，单位是厘米.已知每出售

饮料，制造商赢利0.2分,且制造商制作瓶子最大半径为

.问题(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料利润最大？(２)瓶子半径多大时，每瓶利润最小？71/93例2饮料瓶大小对饮料企业利润影响解：因为瓶子半径为r，所以每瓶饮料利润是72/93例2饮料瓶大小对饮料企业利润影响当半径

时，

它表示

单调递增，即半径越大，利润越高；当半径

时，

它表示

单调递减，即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料利润还不够瓶子成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大73/93例2饮料瓶大小对饮料企业利润影响注:假如不用导数工具,直接从函数图象上观察,你有什么发觉?（见下列图）74/93例3磁盘最大存放量问题（1）你知道计算机是怎样存放、检索