高三数学数列的概念省公开课一等奖全国示范课微课金奖

第1页第2页1．1数列概念1．2数列函数特征第3页一、数列概念按照①________排列着一列数称为数列，数列中每一个数叫做这个数列②________.数列中每一项都和它序号相关，排在第一位数称为这个数列第1项(通常也叫做③________)，排在第二位数称为这个数列第2项……排在第n位数称为这个数列第n项．所以，数列普通形式能够写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中，an是这个数列第④________项，也叫做这个数列⑤________.第4页友情提醒：关于数列概念了解应注意几点事项：(1)数列是按一定“次序”排成一列数，一个数列不但与组成数列“数”相关，而且与这些数排列次序相关．所以，假如组成数列数相同而排列次序不一样，那么它们就是不一样数列；(2)数列与数集区分与联络：数列与数集都是含有某种共同属性数全体．数列中数是有序，而数集中元素是无序，同一个数在数列中能够重复出现，而数集中元素是互异；第5页(3)数列项与它项数是不一样概念：数列项是指这个数列中某一个确定数，是一个函数值，也就是相当于f(n)；而项数是指这个数在数列中位置序号，它是自变量值，相当于f(n)中n；(4)次序对于数列来讲是十分主要，若两个数列中有几个相同数，因为它们排列次序不一样，组成数列就不是一个相同数列，显然数列与数集有本质区分．第6页二、数列分类1．依据数列项数，能够将数列分为两类：(1)有穷数列：项数⑥________数列；(2)无穷数列：项数⑦________数列．第7页2．依据数列增减性，能够将数列分为以下几类：(1)递增数列：从第2项起，每一项都大于它前面一项数列叫做⑧________；(2)递减数列：从第2项起，每一项都小于它前面一项数列叫做⑨________；(3)常数数列：数列各项都是常数数列叫做⑩________；(4)摆动数列：从第2项起，有些项大于它前一项，有些项小于它前一项数列叫做⑪________.第8页三、数列与函数关系从函数观点看，数列能够看作⑫________函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应一列⑬________就是这个数列．四、数列通项公式假如数列{an}第n项an与n之间关系能够用⑭________来表示，这个公式就叫做这个数列通项公式．由通项公式能够写出数列任一项．第9页友情提醒：对于通项公式了解应注意以下几点：(1)数列通项公式实际上是一个以正整数集N*或它有限子集{1,2，…，n}为定义域函数表示式；(2)假如知道了数列通项公式，那么依次用1,2,3，…去替换公式中n，就能够求出这个数列各项；同时，用数列通项公式也能够判断某数是否是该数列中一项，假如是话，是第几项；(3)正如全部函数关系不一定都有解析式一样，并不是全部数列都有通项公式； 第10页(4)有些数列通项公式，在形式上并不一定是唯一．比如：数列－1,1，－1,1，…通项公式可写成an＝(－1)n，也可写成这两个通项公式形式上即使不一样，但表示同一个数列；(5)由(4)知，数列通项公式能够用分段形式写出，这与函数有分段函数道理是一样．第11页五、递推公式假如已知数列{an}第1项(或前n－1项)，且从第2项(或第n项)开始任何一项an与它前一项an－1(或前n－1项)间关系能够用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列⑮________.比如数列1,3,7,15，…中，an＝2an－1＋1(n>1)称为递推公式，这里尤其提醒是：递推公式即使也是数列一个表示方法，但递推公式并不是该数列通项公式．实际上，该数列通项公式可写成an＝2n－1(n∈N*)．第12页六、数列表示方法数列作为一个特殊函数，与函数一样，有三种表示方法：解析法、列表法、图像法．解析法主要是指数列⑯________与⑰________，这是给出数列两种主要方法．比如数列1,3,5,7,9，…：第13页(1)数列通项公式假如数列{an}⑱________关系能够用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列通项公式，由通项公式能够写出数列任一项．仔细观察数列各项，不难发觉：1＝2×1－1；3＝2×2－1；5＝2×3－1；7＝2×4－1；9＝2×5－1；……故an＝2n－1(n∈N*)，此时an就是数列通项公式．第14页数列项通惯用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项位置序号．我们还应注意到这里{an}与an是不一样：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an只表示这个数列第n项．这里{an}是数列简记符号，并不表示一个集合．第15页(2)数列递推公式假如已知数列第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始任一项an与它前一项an－1(或前几项)之间关系能够用一个公式来表示，那么这个公式叫这个数列⑲________.仔细观察数列前后项关系，不难发觉3＝1＋2；5＝3＋2；7＝5＋2；9＝7＋2；……故an＋1＝an＋2(n∈N*)，这个公式就叫做数列递推公式．第16页(3)数列列表、图像表示①列表法就是⑳________来表示数列{an}第n项与序号n之间关系．如本题数列可用下面表格形式表示出来：这就是说，上面能够看成是一个序号集合到另一个数集合映射．所以，从映射、函数观点看，数列能够看做是一个定义域为正整数集N*(或它有限子集{1,2,3，…，n})函数当自变量从小到大依次取值时，对应一列函数值．序号n12345…项an13579…第17页②图像法就是用图像来表示数列{an}第n项与序号n之间关系．数列图像是________，能直观地表示出数列改变情况．以位置序号n为横坐标，对应项为纵坐标描点画图，就能够得到数列图像，数列图像是一系列孤立点．第18页答案：①一定次序②项③首项④n

⑤通项⑥有限⑦无限⑧递增数列⑨递减数列⑩常数数列⑪摆动数列⑫定义域为正整数集N*(或它有限子集{1,2，…，n})上⑬函数值⑭一个公式⑮递推公式⑯通项公式⑰递推公式⑱第n项与序号n之间⑲递推公式⑳列出表格一系列孤立点第19页1.数列是一个特殊函数，与函数相比，数列特殊性表现在哪些方面？第20页数列是一个特殊函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列能够看成是以正整数集N＋或它有限子集{1,2,3，…，n}为定义域函数，即自变量取值必须是正整数，而数列通项公式也就是对应函数解析式．数列与函数之间关系，是特殊与普通关系．数列中项是按一定次序排好一列数，当把数列看作函数时，数列项集合对应于函数值域，但数列{an}与函数f(n)＝an(n∈N＋)是不一样，{an}中元素含有有序性，如将a1，a2，a3，…，an排成a3，a1，a2，…，an则为不一样数列，而对于函数f(n)＝an(n∈N＋)来说却是一样．第21页2．依据数列前几项写出数列一个通项公式是一个难点，克服这个难点关键是什么？怎样找出各项共同组成规律得出通项公式呢？一个数列{an}第n项an与项数n之间函数关系，假如能够用一个公式an＝f(n)来表示，这个公式叫做这个数列通项公式．数列通项公式作用在于当用序号代替通项公式中n，能够求出数列各项，数列通项公式确定了，数列也就确定了．(1)不是全部数列都能写出它通项公式，如π准确到1,0.1,0.01,0.001，…不足近似值组成数列，即：3,3.1,3.14,3.141，…就没有通项公式；

第22页(2)同一个数列通项公式不一定是唯一，如数列－1，1，－1,1，…通项公式能够写成an＝(－1)n，也能够写成an＝－sin( )π(n∈N＋)等等，仅由前几项能够归纳出无限多个通项公式；(3)对一些数列，通项公式可写成一个式子，也可用分段式表示，如数列－1,1，－1,1，…通项公式还能够写成：

第23页第24页[例1]以下说法正确是 (

)A．数列能够看做是一个定义域为正整数集N＋函数B．数列能够看作是一个定义域为正整数集N＋(或它有限子集{1,2,3，…，n})函数，当自变量从小到大依次取值时对应一列函数值C．数列能够看作是一个定义域为正整数集N＋(或它有限子集)函数D．数列能够看作是一个定义域为正整数集N＋(或它有限子集)函数值第25页解析：B中{1,2,3，…，n}不能省略，假如只留下“N＋(或其有限子集)”几个字，很轻易产生误解．同时不能认为只有定义在N＋(或它有限子集{1,2,3，…，n})函数将其函数值排列好才形成数列．比如定义在实数集R上函数y＝f(x)，函数值f(0)，f()，f()，f(π)，…就是一个数列，它与数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…是不一样数列．这说明：数列能够看成一类特殊函数有序排列好函数值，但不是这一类特殊函数，其函数值也能有序排列好，从而形成数列．答案：B第26页[变式训练1]以下说法中，正确是(

)A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同数列C．数列 第k项为1＋D．数列0,2,4,6,8，…可记作{2n}解析：解此题需对数列{an}与集合含义了解透彻，A中{1,3,5,7}表示是集合而不是数列，B中数列中各元素是有次序，D中{2n}并不能把前边数列表达出来．答案：C第27页已知数列前几项，写出数列一个通项公式．处理这一问题方法是：①经过观察、分析、联想、比较，去发觉项与序号之间关系；②假如关系不显著时，可将之同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律展现出来，便于找通项公式；③要借助一些基本数列通项，如正整数数列、正整数平方数列、奇数列、偶数列等；④符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整；⑤分式分子、分母分别找通项，同时，还要充分借助分子、分母关系．另外，值得注意是并不是全部数列都有通项公式，有些数列通项公式不止一个．第28页所以，通项公式归纳不但要看它前几项，更要依据数列组成规律，应多观察分析，真正找到数列内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用方法可循，仁者见仁，智者见智．这类题目正是考查学生聪明才智之处，还望学生们认真总结、细心钻研才是．第29页第30页第31页第32页第33页第34页第35页第36页第37页(5)显然各项分子均为1，其关键在分母上，而分母规律不是很显著，注意到分母组成数列1,3,7,13,21，…，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列项组成数列0,1,2,3,4，…，其规律也就显著了．第38页数列通项公式给出了第n项an与它位置序号之间关系，只要用序号代替公式中n，就能够求出数列对应项．第39页[例3]依据数列{an}通项公式，写出这个数列前4项：第40页第41页[变式训练3]数列{an}通项公式是an＝(n∈N*)．(1)0和1是不是数列{an}中项？假如是，那么是第几项？(2)数列{an}中是否存在连续且相等两项？若存在，分别是第几项？分析：若某个数是数列某一项，则在通项中必存在一个正整数n与其对应，不然就不是数列中项．第42页第43页(2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，则解得m＝10.∴数列{an}中存在连续两项第10项与第11项相等．第44页数列项与项数之间组成特殊函数关系．所以，包括数列性质如单调性，最值问题等均可仿照求函数单调性，最值问题方法来研究，不过在用函数相关知识处理数列问题时，要注意到函数定义域为正整数集这一约束条件．第45页[例4]已知数列{an}通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．第46页第47页[变式训练4]一个数列通项公式为an＝30＋n－n2.(1)问－60是否为这个数列中项？(2)当n分别为何值时，an＝0，an>0，an<0；(3)当n为何值时，an有最大值，并求出最大值．第48页解析：(1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，∴n＝10或n＝－9(舍)，∴－60是这个数列第10项，即a10＝－60.(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.∴n＝6或n＝－5(舍)，即当n＝6时，an＝0.同理，令30＋n－n2>0，即n2－n－30<0.解不等式，得－5<n<6.又n∈N*，∴当n等于1,2,3,4,5时，an>0.令30＋n－n2<0，解不等式，得n>6或n<－5.又∵n∈N*，∴当n>6且n∈N*时，an<0.第49页第50页已知数列{an}通项公式，要讨论这个数列单调性，即比较an与an＋1大小关系，能够作差比较，即证an－an＋1>0(或an－an＋1<0)，也能够作商比较，前提条件是数列各项为正，即an>0，则只要证 >1(或 <1)．第51页[例5]在数列{an}中，an＝(n＋1) (n∈N*)．(1)求证：数列{an}先递增，后递减；(2)求数列{an}最大项．第52页第53页[变式训练5]设函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足＝2n(n∈N*)．(1)求数列{an}通项公式；(2)判断数列单调性．第54页第55页第56页第57页通项an与前n项和Sn有以下关系：此关系式是数列问题中“和”“项”转化纽带．在数列知识学习中占有主要地位．望同学们仔细体会此关系式应用过程及注意事项．第58页[例6]

(1)已知数列{an}前n项和Sn＝2n2－3n，求数列通项公式an；(2)已知数列{an}前n项和Sn＝5n－3，求数列通项公式an.解析：(1)∵数列{an}前n项和Sn＝2n2－3n，∴当n＝1时，a1＝S1＝2·12－3·1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.由此式中令n＝1，也得a1＝－1，∴a1适合an＝4n－5(n≥2)．故数列通项公式为an＝4n－5.第59页(2)∵数列前n项和Sn＝5n－3，∴当n＝1时，a1＝S1＝5－3＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5n－3)－(5n－1－3)＝4·5n－1.此式中令n＝1，得a1＝4，∴a1不适合an＝4·5n－1(n≥2)．第60页[变式训练6]已知Sn是数列{an}前n项和且Sn＝3n，n∈N*，求此数列通项公式．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1，显然a1不适合上式．第61页1．递推公式假如已知数列{an}第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始任一项an与它前一项an－1(或前几项)间关系能够用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列递推公式．递推公式也是给出数列一个主要形式．有递推公式与通项公式之间也能够进行互化．2．递推法经过给出数列某几项(初始值)和递推公式给出数列方法叫做递推法，这个数列叫做递推数列．第62页[例7]已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n＋1)(n＋2)，求an.第63页第64页[变式训练7]

(难题巧解)数列{an}中，a1＝1，对全部n≥2，都有a1a2a3…an＝n2，求它通项公式．第65页分析：先化简an与an＋1关系，再进行递推或归纳得出结论．第66页第67页第68页第69页第70页第71页[变式训练8]

(1)数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2(n∈N*)，求数列通项公式．(2)a1＝1，an＋1＝ ，求an.第72页解析：(1)由题意得an－an－1＝2，an－1－an－2＝2，an－2－an－3＝2，……a3－a2＝2，a2－a1＝2.把以上n－1个等式叠加得an－a1＝2(n－1)，∴an＝a1＋2(n－1)＝2n(a1＝2也适合公式)．第73页第74页评析：利用递推公式循序渐进，发觉数列规律和性质，找到处理问题方法．此题求通项公式方法叫叠加法．第75页[例9]

(数学与日常生活)一辆邮车天天从A地往B地运输邮件，沿途(包含A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站邮件各一个，抵达后面各站后卸下前面各站发往该站一个邮件，同时装上该站发往后面各站邮件各一个．试写出邮车在各站装卸完成后剩下邮件个数所成数列，画出该数列图像，并判断该数列增减性．第76页解析：将A，B之间全部站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号，经过计算，上面各站剩下邮件数依次排成数列：7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表：站号12345678剩下邮件数7121516151270第77页该数列图像以下列图．它在{1,2,3,4}上是递增，在{4,5,6,7,8}上是递减．第78页[变式训练9]

(探究性题)某人卖西瓜，第一位用户买去了全部西瓜二分之一加半个，第二位用户买去所剩西瓜二分之一加半个，…依次类推，每一位用户都买所剩西瓜二分之一再加半个，第八位用户恰好把西瓜买完，问共有多少个西瓜？分析：依据题意，列出递推关系式，然后进行求解．第79页第80页BI胎牛血清/xueqing/BI-xueqing.htmlBI胎牛血清wpf59xsz间就好了。慕容凌娢看着若曦离去背影，有些自嘲笑了笑，若不是真碰到了这种狗血事情，她