列写系统微分方程的一般方法省公开课一等奖全国示范课微课金奖

5/5/20241第二章控制系统的数学模型第1页控制系统性能普通从哪三个方面来评价？5/5/20242第二章控制系统的数学模型第2页第二章控制系统数学模型1.定义：数学模型是描述系统输入输出变量以及内部其它变量之间关系数学表示式2.描述方法：输入-输出描述（端部描述）

常微分方程传递函数系统框图状态变量描述（内部描述）状态方程是这种描述最基本形式，适用多输入多输出系统一.描述系统运动数学模型5/5/20243第二章控制系统的数学模型第3页二.建立系统数学模型方法解析法:依据系统各变量所依据物理定律、化学定律或者其它自然规律，列写出每一个元件输入-输出关系式，然后消去中间变量，从而求得系统输出与输入表示式。

试验法：给系统施加一定测试信号，依据系统对测试信号响应或试验数据来建立数学模型，又称系统辨识。5/5/20244第二章控制系统的数学模型第4页2.1列写系统微分方程普通方法一.用解析法建立系统微分方程普通步骤

分析元件工作原理和在系统中作用，确定元件输入量和输出量，并依据需要引进一些中间变量（必要扰动）。依据各元件在工作过程中所遵照物理、化学定律，列写系统中每一个元件输入与输出微分方程式（考虑相邻元件之间影响）。消去中间变量，求得只含输出、输入变量及其各阶导数微分方程。对所求微分方程进行标准化处理。与输入相关项写在方程等号右方，与输出相关项写在方程等号左方。5/5/20245第二章控制系统的数学模型第5页图2-1Ｒ-L-C电路二.例子消去中间变量，则有:解：由基尔霍夫定律得：1、电气网络系统例1：无负载效应电路5/5/20246第二章控制系统的数学模型第6页图2-2R-C滤波网络消去中间变量i1、i2得或写作例2：有负载效应电路列写2极相同形式RC串联电路组成滤波电路微分方程对于图2-2所表示电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路影响，由基尔霍夫定律列出以下方程组：解：5/5/20247第二章控制系统的数学模型第7页例3：求图2-3所表示弹簧-质量-阻尼器系统数据模型解：由牛顿第二定律列出方程图2-3弹簧-质量-阻尼器系统即式中：-阻尼器阻力ky(t)-弹簧拉力ｋ-为弹簧弹性系数2、机械位移系统ｆ-为阻尼系数5/5/20248第二章控制系统的数学模型第8页描述线性定常系统输入与输出关系微分方程式为列写元件和系统方程式前,首先要明确谁是输入量和输出量，把与输出量相关项写在方程式等号左方，与输入量相关系项写在等号右方，列写系统中各元件输入－输出微分方程式，消去中间变量，求得系统输出与输入微分方程式

写微分方程式普通步骤5/5/20249第二章控制系统的数学模型第9页直流他励发电机由电机学原理得：图2-4直流他励电动机电路图把式（2-2）代入（2-1），则得（2-1）（2-2）（2-3）式中假设拖动发电机原动机转速n0恒定不变，发电机没有磁滞回线和剩磁，发电机磁化曲线为一直线，即Φ/ib=L。5/5/202410第二章控制系统的数学模型第10页2.2非线性数学模型线性化一、可线性化条件变量对于平衡工作点偏离较小非线性函数不但连续，而且其多阶导数均存在二、微偏法在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上各项，用所得线性化方程代替原有非线性方程。5/5/202411第二章控制系统的数学模型第11页设一非线性元件输入为x、输出为y，它们间关系如图2-5所表示，对应数学表示式为

图2-5非线性特征线性化y=f(x)（2-4）在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数5/5/202412第二章控制系统的数学模型第12页y=f(x)→5/5/202413第二章控制系统的数学模型第13页三、举例直流他励发电动机微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线，实际上发电机磁化曲线如图2-5所表示。

设发电机原工作于磁化曲线A点，若令发电机励磁电压增加△U1，求其增量电势△EG改变规律。图2-5发电机磁化曲线若励磁电压增量，则有

假如发电机在小信号励磁电压作用下，工作点A偏离便较小，从而能够经过点A作一切线CD，且以此切线CD近似代替原有曲线EAF。在平衡点A处，直流电机方程为5/5/202414第二章控制系统的数学模型第14页由式（2-21）减式（2-19），式（2-22）减式（2-20）后得

式（2-23）、（2-24）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点A处受到△u1作用后运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线坐标原点不是在O点，而是移到A点。因而发电机初始条件仍为零。式中N为励磁绕组匝数。5/5/202415第二章控制系统的数学模型第15页5/5/202416第二章控制系统的数学模型第16页在实际应用中，常把增量符号“△”省去，这么上述两式显然和（2-9）（2-10）完全相同小结伴随发电机