实际问题与二元一次方程组

实际问题与二元一次方程组

目标认知

学习目标：

1．了解应用题的几种基本题型；

2．掌握列方程组解应用题的一般步骤；

3．探索事物之间的数字关系，建立方程模型；

4．通过实践和探索，运用二元一次方程组解决有关实际问题.

重点：

在解答应用题时，能建立正确的方程模型.

难点：

二元一次方程组在应用题中的灵活运用.

知识要点梳理

知识点一：列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

要点诠释：

(1)寻找等量关系的方法有：①画出示意图分析；②列表分析；③信息的分类处理等等．

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称．

(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．

(4)最后的结果必须使实际问题有意义．

知识点二：列方程解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

(1)追及问题:追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段

图便于理解、分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；路程＝速度×时间；

速度＝；时间＝。

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，

因而也画线段图帮助理解、分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题:①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2.工程问题：工作效率×工作时间=工作量.

3.浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.

4.教育储蓄问题：

(1)基本概念

①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息的和叫做本息和。

④期数：存入银行的时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税：利息的税款叫做利息税。

(2)基本关系式

①利息＝本金×利率×期数

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)

③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息×(1－利息税率)

⑤年利率＝月利率×12

⑥月利率＝年利率×。

注意：免税利息=利息

5.销售中的盈亏问题：

(1)利润＝售价－成本(进价)；

(2)；

(3)利润＝成本×利润率；

(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；

(5)实际售价＝标价×打折率；

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

6.优化方案问题：

在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点；比较几种方案得出最佳方案。

7.和差倍分问题：

解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

8.产品配套问题：

解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.

9.增长率问题：

解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)n＝增长后的量；

原量×(1－减少率)n＝减少后的量.

知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤

利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：

1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；

2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；

3．找出题目中的等量关系；

4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；

5．解所列的方程组，并检验解的正确性；

6．写出答案.

要点诠释：

(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合

理，不符合题意的解应该舍去；

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

解答步骤简记为：问题方程组解答

(4)列方程组解应用题应注意的问题

①弄清各种题型中基本量之间的关系；

②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；

③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程

组时，不要带单位；

④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；

⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；

⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

规律方法指导

1．实际问题主要包括：（1）行程问题；（2）工程问题；（3）产品配套问题；（4）利润问题；

（5）银行利息问题等等。

2．注意问题：（1）行程问题中注意单位的变换及时间的早晚问题；（2）工程问题注意总的工程量是

由几部分组成的；（3）利润问题中注意利润和利息的算法；（4）零件配套问题对零件的配套关系

容易弄混。经典例题透析

类型一：列二元一次方程组解决商品问题

1．某城区中学5月份开展了与农村偏远山区的学校“手拉手”的活动.小强同学积极响应学校的号召，用自己的零花钱买了圆珠笔和钢笔共8支，准备送给偏远山区的同学，共用去了20元钱，其中圆珠笔每支1元，钢笔每支5元.你能算出小强同学买了圆珠笔和钢笔各多少支吗？类型二：列二元一次方程组解决行程问题

2．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？类型三：列二元一次方程组解决方案决策问题

3．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成.

你认为选择哪种方案获利最多？为什么？类型四：列二元一次方程组解决生产中的配套问题

4．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？类型五：列二元一次方程组解决工程问题

5．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：

(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？

(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？类型六：列二元一次方程组解决数字问题

6．两个两位数的和是68，当在较大的两位数的右边接着写较小的两位数时，得到一个四位数；当在较大的两位数的左边写上较小的两位数时，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。类型七：列二元一次方程组解决实际问题

7．为保护生态环境，一个边长为300米的正方形形状的某饲养场的一部分要划为保护区，但允许饲养场向其他地方扩展.这样饲养场变成了一个周长和原来周长相等的等腰三角形，且它的一条边长是另一条边长的2倍，你能计算出改建后饲养场的三边的长吗？例一答案：

思路点拨：本题第一个相等关系是：圆珠笔和钢笔一共8支；第二个等量关系是：买圆珠笔和钢笔共用了20元钱.

解析：设小强同学买了支圆珠笔，支钢笔.

根据题意列方程组，

解得

答：小强同学买了5支圆珠笔，3支钢笔.

总结升华：本题是按“数量”和“钱数”列出二元一次方程组.列方程(组)解实际问题的关键就是准确地找出等量关系，列方程(组)求解.

举一反三：

【变式1】根据图中所给出的信息，求出每个篮球和每个羽毛球的价格.

解析：设每个篮球元，每个羽毛球元.

根据题意列方程组，

解得

答：每个篮球20元，每个羽毛球2元.

【变式2】(云南)在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.

求：(1)A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？

解析：(1)设A型洗衣机的售价为元，B型洗衣机的售价为元，

则据题意，可列方程组

解得

∴A型洗衣机的售价为1100元，B型洗衣机的售价为1600元．

(2)小李实际付款为：(元)；

小王实际付款为：(元)．

∴小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元．

例二答案

思路点拨：画直线型示意图理解题意：

这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程.有两个等量关系：

(1)相向而行：汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米；

(2)同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.

解析：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.

根据题意，列方程组

解这个方程组，得

(千米)，(千米).

答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.

总结升华：行程问题的几个关系式：路程＝速度×时间；；.

相遇问题的等量关系：两者的路程和＝原相距的路程；

追及问题的等量关系：两者的路程差＝原相距的路程.

举一反三：

【变式1】某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地.如果他以每小时30千米的速度行驶，就会迟到30分；如果他以每小时50千米的速度行驶，那么可以提前30分钟到达乙地.求从甲地到乙地规定的时间为多少？

解析：设从甲地到乙地的距离为千米，从甲地到乙地的规定时间为小时.

根据题意，得

解方程组得

答：从甲地到乙地规定的时间为2小时.

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

解析：船顺流速度＝静水中的速度＋水速

船逆流速度＝静水中的速度－水速

设船在静水中的速度为x千米/时，水速为y千米/时，

则

答：船在静水中的速度为17千米/时，水速3千米/时。

例三答案

思路点拨:如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题.本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.

解析：方案一获利为：4500×140=630000(元).

方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元).

方案三获利如下：

设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，

则根据题意，得

解得

所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元).

因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多.

总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案.

举一反三：

【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；

(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利

最多，你选择哪种进货方案？

解析：(1)分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台。

①购进甲、乙两种电视机

②购进甲、丙两种电视机

③购进乙、丙两种电视机(不合实际，舍去)

故商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台。

(2)按方案①，获利150×25＋200×25＝8750元

按方案②，获利150×35＋250×15＝9000元

∴选择购进甲种35台和丙种15台。

例四答案

思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).

解析：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.

根据题意，列方程组得

解方程组得

答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.

举一反三：

【变式1】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

解析：由一个螺栓套两个螺母的配套产品，可设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人，

则

答：生产螺栓的有25人，生产螺母的有35人。

【变式2】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？

解析：设用x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根据题意，得：

，解得，

∴可做50×3＝150张方桌。

答：用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150张方桌。

例五答案

思路点拨：工程问题也有三个量：工作效率、工作时间、工作量。其关系式是：工作效率×工作时间＝工作量。

解析：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，

依题意得

解得

即甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元。

(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元，

故请乙组单独做费用最少。

总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用。工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。

举一反三：

【变式】某工程若由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；若由乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；若由甲、丙两队合作5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。

（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过15天，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

解：（1）设甲队单独做此项工程需天完成，乙队单独做此项工程需天完成。

丙队单独做此项工程需天完成，又视全部工程为“1”，依题意得

将此方程组视为关于为未知数的三元一次方程组，解得

即

（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，由题意，得

解得

因为（元），（元），（元）。

故由甲队单独完成此项工程花钱最少。

答：（1）甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30元完成。

（2）由甲队单独完成此项工程花钱最少。

例六答案

思路点拨：本题中的等量关系：(1)两个两位数的和是68，(2)变化后的两个四位数的差为2178.

解析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，

则

化简得，解得

答：这两个两位数分别是45和23。

总结升华：数字的表示方法：若一个三位数的个位、十位、百位上的数分别为a、b、c，则这个三位数是100c＋10b＋a，将个位与百位调换后得到的数是100a＋10b＋c。设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大数的右边接着写较小的数时，新的数应表示为100x＋y，切不可写成x＋y。

举一反三：

【变式】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。

解析：设原三位数的百位数字为x，个位数字为y，由题意，得

，解得

答：故所求三位数是504。

例七答案

思路点拨：求饲养场三边的长，就是求等腰三角形的腰长和底长，要分两种情