高考数学学科备考关键问题指导系列五（解析几何存在问题及应对策略）

②当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．当与轴不重合也不垂直时，将代数化，即角相等的证明可以有两个思路，即从数量关系或几何关系来思考．为此，不妨设．思路1：从图形中直线的倾斜角直接切入，由位置特征，可以将问题转化为；思路2：从数量关系角度看，通过向量运算去获取，淡化几何特征，直接采取坐标运算，即证；思路3：从几何角度看，问题可以转化为运用角平分线定理，现坐标化，即证；思路4:从几何角度看，在坐标几何中，构造直角三角形相似来证．思路5：从几何角度看，视为角平分线，用点到两边的距离进行代数化．思路6：角平分线具有对称性，故可证明点A关于轴的对称点在直线BM上．这么多的思路，如何代数化，要不要求坐标？程序化（算术化）：即设直线方程，遵循不断求出的思路进行运算，求出点A，B坐标，后再计算；结构化（关系化）：即设直线方程，找出A，B坐标关系（这里的策略就是通常所说的“设而不求”，再对要证的结构关系进行推演．事实上，程序化和结构化的代数思维没有特别的优劣，它都是代数思维的重要特征，它是一个不断螺旋上升的过程，只是大家目前都喜欢用结构化的思维，忽视程序化的思维，这是不对的，对结构化思维的形成与培养也不利．另外，即便用结构化思维进行推演，在设方程上也有此许的差别，如设的方程为或设，还是有讲究的．【评析】解析法的过程，充满着概念与思辩，需要大家细细品味！绝不是机械模仿能达到的．（三）增强几何意识，配合解析工具，巧妙转化解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例11】在平面直角坐标系中，已知圆C：，点A是轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为．分析：问题归结——定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略突破——解直角三角形，化归为圆心到直线的距离．求解过程分析：首先要明确目标所在三角形及与圆的相关几何特性：根据圆的垂径定理，在等腰与中，；接着结合解三角形，问题溯源，选定较为直观的几何变量，构建的目标函数解析式：；最后回归题意确定变量的范围，计算求解，又，所以，因此线段长的取值范围为．归纳：直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．【例12】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线交于A、B两点，射线OA和OB分别和圆交于D、E两点，若，则的最小值等于A．B．C．D．【分析】问题归结——求面积之比，需要把表示成某个变量（斜率）的函数，从而把问题转化为求函数的最值；策略突破——通过图像，发现直线AB过定点（1，0），可得（这是关键），从而得到，最后转化为，求得最值．【解答】设、，由得，即．又所以，即．设、，直线OA：，直线OB：，则．由得，同理．由得，同理．所以，，，．所以．归纳：1．解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；2．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题．其中，解三角形的画图用图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．（四）重视平面解析几何中代数方法的思维训练代数的思维特征，可以概括为程序化：即有点类似于解应用题的算术思维，遵循不断求出的计算，即便引进参数，也当成假设已知，参与运算；构造性的：即有点类似于解应用题的方程思维，注重寻找关系，“设而不求”，推演求解．复习教学中，要通过恰当的事例，训练学生的代数思维，这使得解析几何的代数方法不是一招一式的技巧，而是有着行动指南的思维模式.【例13】（2020年八省联考第7题）已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（）A. B.C. D.程序化：先利用点求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点，即求出直线方程.整个过程有点象对几何画图的顺序．结构性：由在抛物线上，故，即，抛物线方程为，又点B在抛物线上，故设点B从坐标为，则直线AB方程为，因为直线AB与圆相切，所以，则，又，所以，即，所以点B在直线；同理点C在直线上，故直线BC的方程为，故选B【评析】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能收到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，尤其是“设而不求”，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．【例13】过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作准线的垂线，垂足分别为，两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为A．B．C．D．分析一：问题归结——确定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标；策略突破——圆的两个关键量的代数形式：圆心和半径，确定参变量，引入关联变量——斜率的倒数t，可设直线AB：；转化为参数t的等量关系式；求解过程分析：联立方程组消元得到；由韦达定理得，则，直径；求半径，由得方程，则。回归圆：圆心，半径的平方，答案选B．分析二：问题归结——确定圆的方程的最基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标；策略突破——圆的两个关键量的几何性质：作弦的中垂线，求其与直径所在直线的交点．回归确定圆心，作图如下，求解过程分析：立足抛物线的概念认识：直角梯形中，有两个等腰与，结合平行性质与三角形内角和定理可得；立足圆的概念整体认识所得：点与点均在圆上；回顾确定圆心的位置基本方法：作弦的中垂线，求其与直径所在直线的交点；计算求解：设，的中点为，，，则，所以，所以圆心的坐标为；半径为，故选B．【反思归纳】1．两种二次曲线的交汇需分清“主次”，充分利用相关概念与性质分步朝探究目标化归；2．两支圆锥曲线交汇是全国卷高考常见的考查方式，本题涉及圆锥曲线的概念、圆的切线问题，解决这类问题主要以方程思想和数形结合的方法来处理，还应注意恰当运用平面几何知识对其进行求解．【例14】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为．求证：对任意＞0，都有PA⊥PB．分析一：问题归结——讨论与椭圆有关的多条直线的位置关系；策略突破——通过设线PA，联立直线与椭圆方程，得到点P，A，C的坐标，从而得到直线AB的方程，再得到PB的斜率，从而证明，证明到PA⊥PB．解答：将直线PA的方程代入，解得，记，则，，于是，故直线AB的斜率为，其方程为，代入椭圆方程得，解得或，因此，于是直线PB的斜率＝，因此，所以PA⊥PB．分析二：问题归结——讨论与椭圆有关的多条直线的位置关系；策略突破——目标是证明PA⊥PB，即只需证明．解答：设，，则，，且两式相减得，，即，即，故，所以＝＝＝，所以PA⊥PB．【反思归纳】1．方法一，利用直线与椭圆联立，求点坐标，再转化求直线的斜率，最后利用斜率乘积等于-1证明垂直，这是常规方法，思维比较自然，但计算量大；方法二，利用点A、C在椭圆上，所以满足椭圆方程，利用点差法，先求出，再利用，得到结论，方法很巧妙；2．设出点的坐标，但目的不是求出坐标，而是通过它作为媒介寻求变量间的关系，确立解题目标，简化运算和快速准确解决问题，这就是设而不求．3．对于椭圆，有如下结论：若是椭圆上关于原点对称两点，P为椭圆上动点（不同于），则=，特殊地，若是椭圆长轴的顶点，更有此结论，该结论还可推广到椭圆的弦中点，以及双曲线也有类似的结论．（五）函数方程思想引领，强化整体意识【例15】（2015天津理19）已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，．（1）求直线的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围．分析：问题归结——通过几何图形，求直线的斜率，椭圆的离心率以及直线的斜率范围；策略突破——(1)由椭圆知识先求出的关系，设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率的值；(2)由(1)设椭圆方程为，直线与椭圆方程联立，求出点的坐标，由可求出，从而可求椭圆方程；(3)设出直线：，与椭圆方程联立，求得，求出的范围，即可求直线的斜率的取值范围．解答：(1)由已知有，又由，可得，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得．(2)由(1)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为．(3)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得．=1\*GB3①当时，有，因此，于是，得；=2\*GB3②当时，有，因此，于是，得综上所述，直线的斜率的取值范围是．【例16】（2021新高考I卷、20）在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为．（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．分析：（1）的轨迹是双曲线的右支，根据题意建立关于，，的方程组，解出即可求得的方程；（2）思路一、设出直线的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得，同理求得，再根据，即可得的值．思路二、设直线方程，将其与的方程联立，求出两根之和及两根之积，再表示出及，同理设出直线的方程，表示出及，根据，即可得的值．解答：（1）由双曲线的定义可知，的轨迹是双曲线的右支，设的方程为，根据题意，解得，的方程为；（2）解法一：设，直线的参数方程为，将其代入的方程并整理可得，，由参数的几何意义可知，，，则，设直线的参数方程为，，，同理可得，，依题意，，则，又，故，则，即直线的斜率与直线的斜率之和为0．解法二：设，直线的方程为，，，，，设，将直线方程代入的方程化简并整理可得，，所以，即.由韦达定理有，，又由可得，同理可得，，设直线的方程为，设，同理可得，又，则，化简可得，又，则，所以，即直线的斜率与直线的斜率之和为0．归纳：1．求轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题．涉及多个动点时，可用动点代入法或参数法求解，分清主动点和从动点．与圆锥曲线有关的轨迹求解，也要注意取值范围和“杂点”的去除．2．对于最值、定值、范围问题的处理，常采用①几何法：利用图形性质来解决；②代数法：建立目标函数，再求函数的最值，确定某几何量的值域或取值范围，一般需要建立起方程或不等式，或利用圆锥曲线的有界性来求解．（六）素养导向，强化思维，通性通法为本1．试题的主要类型如下表考什么必备知识、关键能力、核心素养、教育价值怎么考基础性、综合性、应用性、创新性考多难题型与难度1.直线的方程、直线与直线的位置关系考查直线方程、方程中系数几何意义等问题题型：跨分支交汇，多题型呈现难度：随主考内容而变2．圆与圆锥曲线的定义、标准方程与性质考查圆锥曲线的定义、标准方程与性质问题题型：选择题或填空题难度：基础题3．直线与(圆)圆锥曲线的位置关系主要考查直线与圆锥曲线的位置关系问题题型：解答题难度：中档题或难题4．与(圆)圆锥曲线有关的范围与最值主要考查与圆锥曲线有关的范围与最值问题，常与函数、不等式交汇命题题型：解答题难度：中档题或难题5．定点、定值的探究与证明①考查以直线、圆、圆锥曲线为载体，探究直线或曲线过定点问题；②考查与圆锥曲线有关的定值问题．题型：解答题难度：中档题或难题6．(圆)圆锥曲线中的点、线、参数等存在性问题①考查以圆锥曲线为载体，探究平分面积的线、平分线段的点等问题；②考查某解析式成立的参数是否存在问题．题型：解答题难度：中档题或难题归避模式，双曲线也可以考大题，如八省联考．2．做法建议建议对以上几类问题进行整理，每类问题的教学都要注意讲关键、讲重点、讲难点、讲思想、讲规律