湖南省常德市新关中学高三数学理期末试卷含解析

湖南省常德市新关中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：C略2.如图,把一个单位圆八等分，某人向圆内投镖，则他投中阴影区域的概率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率（

）A.5

B.

C.

D.参考答案：C略4.已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为

(A)

(B)(C)(D)参考答案：D5.要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位 B．向右平移单位C．向左平移单位 D．向右平移单位参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．6.执行如图程序框图，若输入的等于10，则输出的结果是（

）A．2

B．

C．

D．参考答案：C7.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.复数化简的结果为

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.若集合M={4,5,7,9},N={3,4,7,8,9}，全集U=M∪N,则集合CU(M∩N)

中的元素共有

(

)A．3个

B.4个

C.5个

D.6个参考答案：A10.美不胜收的“双勾函数”是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是轴和直线，其离心率e=（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则四面体A—EFB的体积V等于

。参考答案：连结BD交AC与O,则OA为四面体A—EFB的高且,,所以。12.函数为奇函数，则增区间为________。参考答案：及；13.在等差数列中，若，前5项的和，则．参考答案：在等差数列中，，解得，所以。14.曲线在点（0,1）处的切线方程为

。参考答案：15.设向量=（1，3），=（2，x+2），且∥，则x=．参考答案：4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得1×（x+2）=2×3，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（1，3），=（2，x+2），若∥，则有1×（x+2）=2×3，解可得x=4；故答案为：4．16.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为

▲

．参考答案：20设样本中松树苗的数量为，则有，解得。17.已知函数的图像在点处的切线方程是，则____▲____.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆C上的点到直线l距离的取值范围．参考答案：考点：参数方程化成普通方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）直接消掉参数t得直线l的普通方程，把ρ=4cos（θ﹣）右边展开两角差的余弦，再同时乘以ρ后结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得到圆C的直角坐标方程；（2）由圆的直角坐标方程得到圆心坐标和半径，再由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，则答案可求．解答： 解：（1）由（t为参数）得直线l的普通方程为又∵，∴，∴，即；（2）由得圆心C（1，），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d=．直线l与圆C相离．∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是．点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是基础题．19.（本小题满分12分）如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，,点F是PB的中点，点E在边BC上移动。⑴求三棱锥E-PAD的体积；⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；⑶证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF。参考答案：（1）因为点E到平面PAD的距离即为1，所以····················4分(2)直线EF与平面PAC平行因为E、F两点分别为边PB和BC的中点，所以EF//PC，且直线EF不在平面PAC内，直线PC在平面PAC内，所以，直线EF//面PAC····················8分

(3)因为PA=AB且F为PB中点，所以AF⊥PB,又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC,由于地面ABCD为矩形，所以BC⊥AB,所以BC⊥面PAB,所以BC⊥AF,所以AF⊥面PBC,所以无论点E在BC上何处时，总有AF⊥PE。····················12分

略20.数列的前项和为且（1）求数列的通项公式（3）求证：对任意为自然对数的底数).参考答案：（1）当时，当时，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，因此（2）,设令函数因为,所以21.某市某社区拟选拔一批综合素质较强的群众，参加社区的义务服务工作．假定符合参加选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第四轮才被淘率的概率．（2）该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为,求随机变量的分布列与数学期望．（注：本小题结果可用分数表示）参考答案：（1）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为，则，，，．（2分）该选手进入第四轮才被淘率的概率．（5分）（2）X的可能值为，，,,．（9分）的分布列为（见右侧表格）（11分）．（12分）22.已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为．

（1）求的值；

（2）在△中，若，且，求．

参考答案：解：（1）∵．

…………4分而的最小正周期为，为正常数，∴由解之，得．