陕西省西安市西安爱知初级中学2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试题【含答案】

初二年级学情调研数学试题（满分：100分时间：60分钟）一、选择题（共10小题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1.如图所示的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可求解．【详解】解：选项，不是轴对称图形，故错误，不符合题意；选项，不是轴对称图形，故错误，不符合题意；选项，是轴对称图形，故正确，符合题意；选项，不轴对称图形，故错误，不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，找出对称轴是解题的关键．2.空气的密度为，这个数用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据乘方运算，用科学记数法表示绝对值小于的数，形式为，，是小数点向左（或向右）移动的位数，当小数点向左移动时，为正数；当小数点向右移动时，为移动位数的相反数，由此即可求解．【详解】解：，故选：．【点睛】本题主要考查用科学记数法表示绝对值大于的数，掌握科学记数法表示形式，的取值方法是解题的关键．3.已知三角形的两边长分别是和，则此三角形第三边的长可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据构成三角形三边的大小关系即可求解．【详解】解：∵三角形的两边长分别是和，设第三边长为，∴，即，∴第三边长可能是，故选：．【点睛】本题主要考查三角形三边长的数量关系，掌握两边之差小于第三边，两边之和大于第三边的知识是解题的关键．4.如图，是的角平分线，，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，得，又因为是的角平分线，所以，即可求得的度数．【详解】解：∵，，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的有关计算等知识内容，难度较小．5.有一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，小刚同学掷一次骰子，骰子向上的一面出现的点数是奇数的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可知共有种等可能结果，出现的点数是奇数的结果有种，根据概率的计算公式即可求解．【详解】解：一枚质地均匀的骰子，共有种等可能结果，出现的点数是奇数的结果有，共种，∴骰子向上的一面出现的点数是奇数的概率是，故选：．【点睛】本题主要考查随机事件概率的计算公式，掌握随机事件概率的计算方法是解题的关键．6.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单项式乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式，合并同类项法则逐一进行计算即可.详解】A.，故A选项错误；B.，故B选项错误；C.，故C选项错误；D.，正确，故选D.【点睛】本题考查了单项式乘法、积的乘方、完全平方公式、合并同类项等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】首先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，然后根据勾股定理，即可得解.【详解】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，故选：C．【点睛】此题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.8.小明为了加强身体锻炼，他从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，沿原路返回途中又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，如图，其中表示时间，表示小明离家的距离，根据图像提供的信息，有以下四个说法：①体育场离小明家；②小明在体育场锻炼了；③体育场离早餐店；④小明从早餐店回家的平均速度是其中正确的是（）A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】根据图示信息，横轴表示时间，纵轴表示路程，根据函数图形与行程关系即可求解．【详解】解：当时间是时，路程为，即体育场离小明家，结论①正确；∵，∴小明在体育场锻炼了，故结论②正确；∵纵轴上，∴体育场离早餐店，故结论③正确；小明从早餐店回家的路程是，时间是，∴小明从早餐店回家的平均速度是，故结论④错误；综上所述，正确的有①②③，故选：．【点睛】本题主要考查函数图像与行程的问题，理解函数图像，掌握行程的中相关的计算是解题的关键．9.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边长分别为，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正方形面积的计算方法，勾股定理可得，四个正方形的面积为，可求出的值，将变形后，代入求值即可求解．【详解】解：∵大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边长分别为，∴，∴四个全等的三角形的面积为，∴，解得，，∵，∴的值是，故选：．【点睛】本题主要考查勾股定理，正方形，三角形的面积的计算方法，掌握勾股定理的计算，正方形，全等三角形面积的关系是解题的关键．10.如图，将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（）A.4 B.3 C.5 D.2【答案】B【解析】【分析】长方形沿着折叠，得，，根据勾股定理得，则，设，，根据勾股定理得，即可解得的长．【详解】解：∵四边形是长方形，∴，，∵长方形沿着折叠，∴，，∴，，设，，∴，即，解得，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）11.计算：_____．【答案】【解析】【分析】根据多项式乘多项式法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式等知识内容，多项式乘多项式法则是一个多项式乘以另一个多项式，就是把一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，然后再相加．12.若，则_______________________．【答案】【解析】【分析】根据幂的运算法则及逆定理即可求解．【详解】∵∴=．故答案为：．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则．13.一辆汽车油箱中现存油，汽车每行驶耗油，则油箱剩余油量与汽车行驶路程之间的关系式是______________．【答案】【解析】【分析】根据油箱剩余油量=油箱中现存油量-汽车行驶消耗的油量，即可得到答案．【详解】解：由题意得：，则，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，正确找出等式关系是解题关键．14.如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为_____度．【答案】37【解析】【分析】先判断出∠AEC=90°，进而求出∠ADC=∠C=74°，最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论．【详解】解：∵AD=AC，点E是CD中点，∴AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∵AD=AC，∴∠ADC=∠C=74°，∵AD=BD，∴2∠B=∠ADC=74°，∴∠B=37°，故答案为：37°．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，求出∠ADC=74°是解本题的关键．15.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是___．【答案】4【解析】【分析】作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得．【详解】解：如图，作于，平分，，，，，解得，故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．16.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在AB上，且，N是BD上一动点，则的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】连接MC，CN，先证明的最小值就是线段CM的长，利用勾股定理求出CM．【详解】解：如图，连接MC，CN，∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于BD对称，∴AN＝CN，∴AN+MN＝CN+NM≥CM，在Rt△BMC中，∵∠BCM＝90°，BC＝4，BM＝AB﹣AM＝4﹣1＝3，∴CM＝＝5．∴AN+MN≥5，故的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了最短距离问题、正方形性质、勾股定理、两点之间线段最短，解题的关键是连接MC，CN，将AN+MN最小值转化为CM的长．三、解答题（满分46分）17.计算：【答案】【解析】【分析】根据乘方运算法则，负指数幂的运算法则，绝对值的性质，有理数加减混合运算法则即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查乘方的运算法则，负指数幂的运算法则，绝对值的性质化简，有理数的加减混合运算的综合，掌握以上知识是解题的关键．18.先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】根据乘法公式，整式的乘除法运算进行化简，再代入计算即可求解．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题主要考查运用乘法公式进行整式乘除法的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．19.如图，已知．请用尺规作图法，在边上求作一点，且．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】点即为所求点的位置，作图见详解【解析】【分析】作线段的垂直平分线交于点，根据垂直平分线的性质可得是等腰三角形，由此即可求解．【详解】解：如图所示，①分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧交于点，连接，交于点，延长交于点；②连接；∵是线段的垂直平分线，点在直线上，∴，，∴等腰三角形，∴，∴点即为所求点的位置．【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，掌握线段垂直平分线的尺规作法，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．．20.如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE【答案】见解析.【解析】【分析】利用SAS证明△ACF≌△BDE，根据全等三角形的性质即可得.【详解】∵AE＝BF，∴AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，又AC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴CF＝DE.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键.21.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．【答案】2.2米【解析】【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．【详解】解：在中，，米，米，．在△中，，米，，，，，米，米，答：小巷的宽度为2.2米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．22.已知如图,在△ABC中,AB=AC,点D是线段BC上一个动点,以AD为腰在线段AD的右侧作△ADE,且AD=AE．(1)如图①,当∠BAC=∠DAE=90°时,试判断线段BD和CE有什么关系,并给出证明:(2)在(1)的条件下,若BC=4.试判断四边形ADCE的面积是否发生变化,若不变,求出四边形ADCE的面积;若变化,请说明理由;(3)如图②,若∠BAC=∠DAE=120°,BC=4,试探索△DCE的面积是否存在最大值,若存在,求出此时∠DEC的度数,若不存在,请说明理由．【答案】（1）BD=CE，证明见解析；（2）不变，4；（3）存在，60°.【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠BAD=∠CAE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；（2）由（1）得，所以，可得出四边形ADCE的面积不发生变化，根据等腰直角三角形的性质得出斜边BC上的高，即可求出面积；（3）由，可得的值最小时△DCE的面积存在最大值，由垂线段最短可得AD⊥BC时AD=AE的值最小，则的值最小，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可求∠DEC的度数.【详解】（1）BD=CE.证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△DAB与△EAC中，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD=CE；（2）∵△DAB≌△EAC∴∵∴，即四边形ADCE的面积不发生变化；∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=4∴Rt△ABC斜边上的高=2∴（3）由（2）得∵∴的值最小时△DCE的面积存在最大值，由