安徽省芜湖市十连中学高三数学理测试题含解析

安徽省芜湖市十连中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=xlnx的图象上有A、B两点，其横坐标为x1，x2（0＜x1＜x2＜1）且满足f（x1）=f（x2），若k=5（），且k为整数时，则k的值为（）（参考数据：e≈2.72）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】推导出f′（x）=1+lnx，x＞0，由f′（x）=0，得x=，由x1lnx1=x2lnx2，得0＜x1＜＜x2＜1，由由，，得到＜，由此能求出k为整数时，k的值．【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=1+lnx，x＞0，由f′（x）=0，得x=，∵函数f（x）=xlnx的图象上有A、B两点，其横坐标为x1，x2（0＜x1＜x2＜1）且满足f（x1）=f（x2），∴x1lnx1=x2lnx2，（0＜x1＜＜x2＜1），如图所示，由，，＜+=，∵t=关于x1单调递减，0＜x1＜，∴＜，∴5（+）＜，∴k≤3．∴k为整数时，则k的值为3．故选：C．2.i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入计算得答案．【解答】解：，则=i2007=（i4）501?i3=﹣i．故选：A．3.复数的共轭复数是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B4.设全集，集合则集合=

A．

B．

C．

D．参考答案：

B5.等比数列的各项均为正数，且，则为（

）A、12 B、10

C、8

D、参考答案：B略6.设（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.2参考答案：A分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可．详解：∵复数．．

故选A.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.已知三角形所在平面与矩形所在平面互相垂直，，，若点都在同一球面上，则此球的表面积等于A.

B..

C.

D.参考答案：C8.已知两条直线互相垂直，则等于（

）

A．2

B．1

C．

D．0参考答案：C9.已知函数的图像关于直线对称则最小正实数的值为(

)A. B. C. D.参考答案：A略10.已知函数是定义在实数集R上得不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则=（

）A．0

B.

C.1

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）参考答案：40【分析】根据二项式展开定理求解即可.【详解】展开的通项为时，此时的系数为故答案为：【点睛】本题主要考查了由二项式定理求指定项的系数，属于基础题.12.设复数，其中i为虚数单位，则＝

．参考答案：5∵，∴．13.设满足约束条件若目标函数的最大值为1,则的最小值为_________.ks5u参考答案：414.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），则f（1﹣）=

．参考答案：﹣

【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据已知，先求出f（﹣1）的值，进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：∵当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），∴f（﹣1）=log2=，又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（1﹣）=﹣f（﹣1）=﹣，故答案为：﹣．15.如图，A，B是圆O上的两点，且为OA的中点，连接BC并延长BC交圆O于点D，则CD=______________。参考答案：略16.设双曲线的左、右顶点分别为,，点在双曲线上且异于,两点，为坐标原点．若直线与的斜率之积为，则双曲线的离心率为________．参考答案：对双曲线来说,,17.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于两点，如图，设动点、。（1）求证：为定值；（2）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（3）求证：直线：被以为直径的圆截得的弦长恒为定值。

参考答案：解析：（1）当直线垂直于轴时，，因此（定值）；当直线不垂直于轴时，设直线的方程为：，由得因此有为定值。（2）。当直线垂直于轴时，；当直线不垂直于轴时，由（1）知

因此，。综上，面积的最小值为。（3）中点，，因此以为直径的圆的半径，中点到直线的距离，所截弦长为：(定值)。19.（本小题满分12分）如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（Ⅰ）求证：AC⊥FB（Ⅱ）求二面角E﹣FB﹣C的大小．

参考答案：（Ⅰ）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，……2分∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC……4分又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4∴，，则有AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB．……6分

（Ⅱ）解：由（I）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz…………………7分可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），由（Ⅰ）知平面FCB的法向量为∵，……………………8分设平面EFB的法向量为则有即令则……………………10分设二面角E﹣FB﹣C的大小为θ，有图易知为锐角所以二面角E﹣FB﹣C的大小为……………………12分

20.已知函数.（I）若在处的切线方程为，求的值；（II）若在上为增函数，求得取值范围.参考答案：（I）因为，又在处的切线方程为，所以所以（II）因为在上为增函数，所以在上恒成立.即在上恒成立，所以有.21.（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为．（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1⊥OQ2．参考答案：【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知得，由此能求出椭圆的方程．（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x2﹣24x+36﹣2b2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出b的值．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为，椭圆上的一点A到两焦点的距离之和为4，∴，解得a=2，b=，∴椭圆的方程为．（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x2﹣24x+36﹣2b2=0，由△＞0，得b＞，，，y1y2=2x1x2﹣6（x1+x2）+18=，由OQ1⊥OQ2，知x1x2+y1y2=0，解得b2=9，即b=±3，∵b＞，∴b=3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；ks5u（2）若，设，求数列的前n项和.参考答案：解（1）由题意知

………………1分当时，

当时，两式相