线性代数复习练习题

一、填空题1、如果，则____________；2、如果行列式=0,则=____________；3、四阶行列式中含有的项是____________；4、中的系数为____________；5、在阶行列式中，项的符号是____________；6、若是5阶行列式中带“+”的项，则i=____________；k=____________；7、已知，则=____________；8、若行列式中存在两行元素相同或成比例，则=____________；9、设D==3，则=____________；10、设则=____________；11、设,则____________；12、设，则____________；12、设四阶行列式的第二行的4个元素分别为，它们的代数余子式分别为，则行列式____________；13、设为第i行第j列元素的代数余子式，则____________；14、已知，则____________；____________；____________；15、5阶方阵A的行列式的值为3，则|-3A|=____________；16、设阶行列式A的值为2，则=____________；17、设A为阶方阵，为任一常数，则矩阵行列式=____________；18、设是n阶矩阵的伴随矩阵，若，则____________；19、设，则的伴随矩阵=；20、已知，则____________；21、设二元方阵的逆分别是则____________；22、矩阵A=的逆矩阵为=____________；23、设，且，则____________；24、设则____________；25、设，则，；26、设为维单位坐标向量组，则=；28、设，，线性相关，则________________；29、含有零向量的向量组必是线性________向量组；30、任何个维向量都是线性关的；31、如果向量组可以由向量组线性表示，则_____；32、设是矩阵，若的行向量组线性无关，则的列向量组的秩=_________________；33、设向量组线性无关，则它的秩=；34、设是非齐次线性方程组的解,若也是的解,当且仅当；35、设是非齐次线性方程组的解，若也是该方程组的解，则；36、设是非齐次线性方程组的解，若也是的解，则____________；37、设四元线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知有解则的一般解为____________；38、已知5元齐次线性方程组的基础解系包含3个解向量，则_______；39、设是矩阵，若的列向量组的秩为2，则线性方程组的基础解系含有____个解向量。40、设是某个齐次线性方程组的基础解系,，则与是线性的；因而与（一定，不一定）是线性方程组的基础解系.41、设为阶方阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是_____________；42、设矩阵为阶方阵，且非齐次线性方程组有唯一解，则；43、设，，若与正交，则、所满足的关系为____________；44、设与正交，则____________；45、向量的第一个分量非负，是的规范正交向量组，则=；46、若方阵满足，则的特征值是或；47、阶方阵的特征值为，则；48、若是可逆矩阵，且是的特征值，则特征值为；49、设4阶方阵的特征值分别为，则的特征值为____________；50、设3阶方阵的特征值分别为3，-2，2，则的特征值为_____________，且_________；51、设3阶方阵的特征值为2，-1，3，则____________；52、设为矩阵的一个特征根，则是矩阵的特征根。53、阶矩阵的个特征根互不相等是与对角矩阵相似的____________；54、二次型对应的矩阵为____________；55、二次型的矩阵；56、二次型的矩阵____________；57、二次型所对应的矩阵____________；58、实二次型为正定的，则=____________；二、判断题1、两个n维向量组等价当且仅当两个向量组的秩相等； （）2、两两正交的非零向量组一定是线性无关的向量组； （）3、矩阵A、B分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组有唯一解当且仅当R（A）=R（B）； （）4、n阶方阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似； （）5、n阶方阵A与B的特征值相同的充分必要条件是A与B相似。 （）6、 （）7、设均为阶矩阵，则 （）8、若，则 （）9、设均为可逆矩阵，则也可逆且 （）10、向量组是线性无关的 （）11、设向量组线性无关，则向量组也线性无关 （）三、选择题四、计算下列行列式1、 2、3、 4、5、 6、五、求逆矩阵1、用初等行变换求矩阵的逆矩阵。2、已知，求。3、设，，求。4、用初等行变换求矩阵的逆矩阵。5、设证明：及都可逆，并求，。六、解矩阵方程1、设.求矩阵.2、已知，且，求.3、已知，求。七、求矩阵的秩1、（用初等变换求矩阵的秩。八、解线性方程组1、求非齐次线性方程组的一般解。2、设有线性方程组：，（1）求出线性方程组有解的充要条件；（2）在有解的情况下，求出通解。3、设有非齐次线性方程组，问当为何值时有解？并求出全部解。4、求方程组的通解。5、求方程组的通解。6、求线性方程组的通解7、求解方程组。8、求解方程组：九、向量组的线性相关性判断1、设，且为的特征值，为它们对应的特征向量，证明线性无关．2、证明：若非零向量可由向量组线性表示，且表达唯一，则线性无关。3、判断向量组线性相关性。4、证明题：设向量组线性无关，试证明向量组也线性无关。5、证明向量组线性相关的充要条件是其中某个向量可由其余向量线性表示。6、设向量组线性无关，证明向量组，，也线性无关。十、向量组的秩和最大无关组1、设有向量组，，，求此向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.2、设有向量组（1）求向量组的秩.（2）求向量组的一个极大无关组.（3）将其余向量用极大无关组线性表示。3、设求向量组的一个最大无关组，并把余下的向量用它的极大无关组来线性表示。4、求向量组的秩，并判断它们是否线性相关。5、设矩阵，求（1）的行最简型；（2）的列向量组的一个极大无关组，并指出列向量组的秩；（3）用上述极大无关组线性表示其余的列向量。6、设有向量组是矩阵的列向量组，求矩阵的列向量组的秩及其一个最大无关组。7、设有向量组求（1）该向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表示。8、设有向量组求（1）该向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表示。9、设有向量组求（1）该向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表示。十一、求方阵的特征值与特征向量十二、矩阵的相似对角化1、已知实对称矩阵（1）求的特征值与特征向量.（2）求一正交矩阵，使得为对角阵.2、设=.（1）求的特征值.（2）求的特征向量（3）求正交矩阵，使得为对角阵.3、已知三阶矩阵的三个特征根为，且为它们所对应的特征向量，求一个正交矩阵，使为对角阵。4、设（1）求的特征值；（2）求的特征向量；（3）求一个正交矩阵，使为对角阵。5、设（1）求的特征值与特征向量；（2）求一正交的相似变换，将化为对角矩阵。十三、化二次型为标准形1、用正交变换将二次型化为标准型。十四、二次型的正定性1、写出二次型的矩阵，并判断二次型的正定性。2、求二次型的矩阵，并判断二次型的正定性。十五、综合题1、（设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性