2015年广东专插本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2015年广东专插本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题4.解答题5.综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．若当χ→0时，kχ＋2χ2＋3χ3与χ是等价无穷小，则常数k＝()A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：＝k＝1，故本题选B．2．已知函数f(χ)在χ0处有二阶导数，且f′(χ0)＝0，f?(χ0)＝1，则下列结论正确的是()A．χ0为f(χ)的极小值点B．χ0为f(χ)的极大值点C．χ0不是f(χ)的极值点D．(χ0，f(χ0))是曲线y＝f(χ)的拐点正确答案：A解析：由f(χ)在χ0处有二阶导数，f?(χ0)＝1＞0且f′(χ)＝0，则χ0为f(χ)的极小值点．3．设F(χ)是f(χ)的一个原函数，C为任意实数，则∫f(2χ)dχ＝()A．F(χ)＋CB．F(2χ)＋CC．F(2χ)＋CD．2F(2χ)＋C正确答案：C解析：∫f(2χ)dχ＝∫(2χ)d(2χ)＝F(2χ)＋C，故本题选C．4．若函数f(χ)＝＋kχ在区间[0，1]上满足罗尔(Rolle)定理的条件，则常数k＝()A．－1B．0C．1D．2正确答案：C解析：由f(χ)在[0，1]上满足罗尔定理知，f(0)＝f(1)，即1＝k，故本题选C．5．下列级数中，收敛的是()A．B．C．D．正确答案：D解析：级数为公比小于1的几何级数，是收敛的；级数为p＞1的p-级数，也是收敛的，故级数是收敛的．填空题6．曲线y＝(1－)χ的水平渐进线为y＝_______．正确答案：e-5解析：＝e-5，则y＝e-5为曲线的一条水平渐近线．7．设函数y＝f(χ)由参数方程所确定，则＝_______．正确答案：2解析：8．广义积分＝_______．正确答案：解析：9．微分方程y′－χy＝0满足初始条件y｜χ＝0＝1的特解为y＝_______．正确答案：解析：对微分方程分离变量为χdχ，则ln｜y｜＝χ2＋C，C为任意常数．即y＝，又y｜χ＝0＝1，故C＝0，特解为y＝．10．设函数f(χ)＝log2χ(χ＞0)，则＝_______．正确答案：解析：解答题解答时应写出推理、演算步骤。11．已知函数f(χ)＝在点χ＝1处连续，求常数a和b的值．正确答案：f(1)＝a，∴当a＝1＋b＝2，即a＝2，b＝1时，f(χ)在χ＝1处连续．12．求极限正确答案：13．设y＝ln求y?｜χ＝0正确答案：∵y＝lneχ－ln(eχ＋1)＝χ－ln(eχ＋1)，14．计算不定积分正确答案：设＝t，则χ＝t2－2，dχ＝2tdt，15．求由曲线y＝χcos2χ和直线y＝0，χ＝0及围成的平面图形的面积．正确答案：所求面积：16．将二次积分I＝∫-11dχ化为极坐标形式的二次积分，并计算I的值．正确答案：由给定的二次积分知，积分区域D＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，0≤y≤}，如图所示：则在极坐标下：D＝{(r，θ)｜0≤r≤1，0≤θ≤π}17．求微分方程y?＋2y′＋5y＝0满足初始条件y｜χ＝0＝2，y′｜χ＝0＝0的特解．正确答案：微分方程的特征方程为r2＋2r＋5＝0，解得r＝－1±2i，微分方程的通解为y＝e－χ(C1cos2χ＋C2sin2χ)，∵y′＝－e－χ(C1cos2χ＋C2sin2χ)＋e－χ(－2C1sin2χ＋2C2cos2χ)，∴y｜χ＝0＝C1＝2，y′｜χ＝0＝－C1＋2C2＝0，解得C2＝2，C2＝1，故微分方程的特解为y＝e－χ(2cos2χ＋sin2χ)．18．判定级数的收敛性．正确答案：显然，∵则由比值审敛法知，级数收敛，再由比较审敛法知，级数收敛．∴由比较审敛法知，收敛．综合题19．设二元函数z＝f(χ，y)＝χvlnχ(χ＞0，χ≠1)，平面区域D＝{(χ，y)｜2≤χ≤e，－1≤y≤1}．(1)求全微分dz；(2)求f(χ，y)dσ．正确答案：(1)∵＝χy-1＋yχy-1lnχ＝χy-1(1＋ylnχ)，＝χyln2χ，∴dz＝＝χy-1(1＋ylnχ)dχ＋χyln2χdy．(2)f(χ，y)dσ＝∫2cdχ∫-11χlnχdχ＝∫2c(χy｜-11)dχ＝20．已知f(χ)是定义R上的单调递减的可导函数，且f(1)＝∫0χ函数F(χ)＝∫0χf(t)dt－χ2－1．(1)判别曲线y＝F(χ)在R上的凹凸性，并说明理由；(2)证明：方程F(χ)＝0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．正确答案：(1)∵F′(χ)＝f(χ)－2χ，F?(χ)＝f′(χ)－2，且由题意知f′(χ)≤0(χ∈R)，∴F?(χ)＜0(χ∈R)，故曲线y＝F(χ)在R上是凸的．(2)显然F(χ)在[0，1]上连续，且F(0)＝－1＜0，F(1)＝∫01f(t)dt－2＞∫012dt－2＝0，∴方程F(χ)＝0在区间(0，1)内至少有一个实根．由F?(χ)＜0知F′(χ)在R上单