高中数学基本初等函数Ⅰ2.3幂函数讲义新人教A版必修省公开课一等奖新名师获奖课件

2.3幂函数1/30目标导航2/30新知探求课堂探究3/30新知探求·素养养成【情境导学】导入请用描点法在同一平面直角坐标系中画出初中已熟知函数y=x,y=x2,y=图象,并观察它们共同特点.答案:这些函数都是以幂底数为自变量,指数为常数,它们图象都过点(1,1).这类函数称之为幂函数.4/30知识探究1.幂函数概念普通地,函数

叫做幂函数,其中

是自变量,

是常数.探究1:幂函数与指数函数自变量有何区分?答案:幂函数是形如y=xα(α∈R),自变量在底数上,而指数函数是形如y=ax(a>0且a≠1),自变量在指数上.y=xαxα2.幂函数图象在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1图象如图:5/30探究2:幂函数图象不可能出现在第几象限?答案:第四象限.这是因为y=xα中当x>0时,y不可能小于0.3.幂函数性质增减增增减6/30【拓展延伸】函数y=xn(n=,p,q∈Z,|p|与|q|互质)图象7/308/30自我检测1.(概念)以下函数中是幂函数为(

)(A)①③④ (B)③ (C)③④ (D)全不是B解析:依据幂函数定义,xa系数为1,指数位置a为一个常数,且常数项为0可知,只有③满足定义,故选B.9/30BB10/30B5.(单调性)若f(x)=xα在(0,+∞)上单调递增,则α取值范围为

.

答案:(0,+∞)11/30题型一幂函数概念课堂探究·素养提升解析:(1)②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B.(2)由幂函数定义可知m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0.解得m=1或m=2.故选C.12/30方法技巧

幂函数解析式结构特征:(1)解析式是单项式;(2)幂指数为常数,底数为自变量,系数为1.13/3014/30(A)偶函数,且在(0,+∞)上是增函数(B)偶函数,且在(0,+∞)上是减函数(C)奇函数,且在(0,+∞)上是减函数(D)非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数(2)幂函数f(x)=xm是偶函数,在x∈(0,+∞)为增函数,则m值能够为

(填序号).

①-1;②2;③4;④-1或2.(2)因为幂函数f(x)=xm是偶函数,在x∈(0,+∞)为增函数,所以m是正偶数,所以m值可能是2或4.答案:(1)D

(2)②③15/30题型二幂函数图象【例2】(1)(·安庆高一期末)幂函数y=f(x)图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)图象是(

)16/30(2)(·江西高一月考)若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中图象如图,则a,b,c,d大小关系是(

)(A)d>c>b>a(B)a>b>c>d(C)d>c>a>b(D)a>b>d>c解析:(2)在第一象限内,x=1右侧部分图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a>b>c>d.故选B.17/30方法技巧依据幂函数图象比较指数大小,可依据幂函数单调性以及图象改变判断,也可利用特征,如令x=2,作出直线x=2与各图象交点,由指数函数y=2x单调性即可由交点纵坐标确定指数大小关系.18/3019/3020/3021/30题型三幂函数性质【例3】

比较以下各组数大小:(2)(-2)-3和(-2.5)-3;(2)幂函数y=x-3在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数,因为0>-2>-2.5,所以(-2)-3<(-2.5)-3.22/30解:(3)幂函数y=x-0.1在(0,+∞)上为减函数,因为0<1.1<1.2,所以1.1-0.1>1.2-0.1.23/30方法技巧

比较幂值大小,关键在于结构适当函数,若指数相同而底数不一样,则考虑幂函数;若指数不一样底数相同,则考虑指数函数;若底数不一样,指数也不一样,需引入中间量,利用幂函数与指数函数单调性,也能够借助幂函数与指数函数图象.24/30即时训练3-1:比较以下各组中两个数大小:(2)因为幂函数y=x1.5在(0,+∞)内单调递增,所以0.71.5>0.61.5.25/30解:(1)因为函数在(0,+∞)上递增,所以9-3m>0,解得m<3,又m∈N*,所以m=1,2,又函数图象关于原点对称,所以9-3m为奇数,故m=2.所以f(x)=x3.【备用例3】(·连城一中高一期中)已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N*)图象关于原点对称,且在R上函数值随x增大而增大.(1)求f(x)表示式;26/30(2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0a取值范围.27/30题型四易错辨析——对幂函数了解不全致误【例4】若(a+1)