安徽省安庆市赛口中学高三数学理下学期期末试卷含解析

安徽省安庆市赛口中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=lnx+x﹣a（a∈R），若存在b∈[1，e]，（e为自然对数的底数），使得f（f（b））=b，则实数a的取值范围是(

) A．[﹣，1﹣] B．[1﹣，ln2﹣1] C．[﹣，ln2﹣1] D．[﹣，0]参考答案：C考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．解答： 解解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b），其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数因此命题“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，转化为“存在b∈[1，e]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[1，e]，∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[1，e]，令：lnx+x﹣a=x，则方程在[1，e]上一定有解∴a=lnx﹣x，设g（x）=lnx﹣x则g′（x）=﹣=，当g′（x）=0．解得x=2，∴函数g（x）=在[1，2]为增函数，在[2，e]上为减函数，∴g（x）≤g（2）=ln2﹣1，g（1）=﹣，g（e）=1﹣e，故实数a的取值范围是[﹣，ln2﹣1]故选：C点评：本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题2.已知集合A={x|＞0}，B={x|lg（x+9）＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，1） C．{0} D．{﹣1，0，1}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求得集合A，求函数定义域得集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|＞0}={x|（1﹣x）（1+x）＞0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|lg（x+9）＜1}={x|0＜x+9＜10}={x|﹣9＜x＜1}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．故选：A．3.设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3参考答案：D考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a．解答：解：∵=（a﹣3）﹣i是纯虚数，∴a﹣3=0，解得a=3．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．4.已知数列{}的前n项和为，且,

则等于

（

）A．4

B．2

C．1

D．

参考答案：A因为，所以，解得，所以，即，选A.5.如图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是 (

)A．2500,2500

B．2550,2550

C．2500,2550

D．2550,2500参考答案：D6.设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（

）．A、，，

B、，，C、，，

D、，，参考答案：D7.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8~10岁，11~12岁，13~14岁，15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，份。因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11~12岁学生问卷中抽取60份，则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为（

）A．60

B．80

C．120

D．180参考答案：C略8.参考答案：C9.设函数f（x）为定义域为R的奇函数，且f（x）=f（2﹣x），当x∈时，f（x）=sinx，则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间上的所有零点的和为（）A．6 B．7 C．13 D．14参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】确定函数的周期为4，且y=f（x）的图象关于直线x=1对称，g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间上的零点，即方程|cos（πx）|=f（x）的零点，利用图象可得结论．【解答】解：由题意，函数f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（2﹣x），则﹣f（﹣x）=f（2﹣x），可得f（x+4）=f（x），即函数的周期为4，且y=f（x）的图象关于直线x=1对称．g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间上的零点，即方程|cos（πx）|=f（x）的零点，画y=|cos（πx）|函数图象，∵两个函数的图象都关于直线x=1对称，∴方程|cos（πx）|=f（x）的零点关于直线x=1对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A．【点评】本题考查函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．10.命题“对任意的”的否定是A.不存在B.存在C.存在D.对任意的参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线与双曲线一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为_______；参考答案：12.已知抛物线经过圆的圆心，则抛物线的准线与圆相交所得的弦长为

．参考答案：【知识点】圆的标准方程抛物线的几何性质H3

H7圆的标准方程为，圆心坐标，代入抛物线方程可得，所以其准线方程为，圆心到直线的距离，所以抛物线的准线与圆相交所得的弦长为：.故答案为.【思路点拨】将圆的方程化为标准方程可得圆心，代入抛物线方程可得，即其准线为，根据圆的弦长公式可求得弦长.13.已知向量，，，则实数

．参考答案：解析：由，则，所以，又由，所以，解得，故答案为.14.若实数x，y满足，则z＝的最小值为______________.参考答案：略15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为,已知,，，则△ABC的面积为

.参考答案：16.已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为

．参考答案：60°【考点】正弦定理．【分析】根据三角形的面积公式S=absinC，由锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，代入面积公式即可求出sinC的值，然后根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的大小．【解答】解：由题知，×4×3×sinC=3，∴sinC=．又∵0＜C＜90°，∴C=60°．故答案为60°．17.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则球O的表面积为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，（I）若x∈[0，2]，求的单调递增区间；（Ⅱ）设y=f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的坐标为P，第一个最低点的坐标为Q，坐标原点为O，求∠POQ的余弦值．参考答案：【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（I）利用数量积运算性质、和差公式可得，再利用单调性即可得出．（II）由题意得P，Q．根据距离公式及其余弦定理即可得出．【解答】解：（I），，解得，∵x∈[0，2]时，或，∴f（x）的单调递增区间为，．（II）由题意得P，Q．根据距离公式，，，根据余弦定理，19.（2016秋?安庆期末）已知函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣m．若函数g（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出x1，x2，令t=，得到0＜t＜1，构造函数h（t）=t﹣﹣2lnt（0＜t＜1），根据函数的单调性求出h（t）＜h（1），从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）因为x1，x2是函数g（x）=lnx+﹣m的两个零点，所以lnx1+﹣m=0，lnx2+﹣m=0．两式相减，可得ln=﹣，即ln=，故x1x2=，那么x1=，x2=．令t=，其中0＜t＜1，则x1+x2=+=．构造函数h（t）=t﹣﹣2lnt（0＜t＜1），则h′（t）=．因为0＜t＜1，所以h'（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即t﹣﹣2lnt＜0，可知＞1，故x1+x2＞1．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，函数的构造、换元思想，是一道中档题．20.已知a、b为正实数，函数.（1）求函数f(x)的最大值；（2）若函数f(x)的最大值为1，求的最小值.参考答案：（1）（2）【分析】（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）由（1）得，再根据基本不等式可得的最小值.【详解】解：（1）因为，所以函数的最大值为.（2）由（1）可知，，因为，所以，所以，即，且当时取“”，所以的最小值为.【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.21.在如右图的几何体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，∥，，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：解：(（1）证明1：因为，在△中，由余弦定理可得．…………………2分所以．所以．………3分因为，，、平面，所以平面．………5分证明2：因为，设，则．在△中，由正弦定理，得．……1分因为，所以．整理得，所以．……2分所以．…………………3分因为，，、平面，所以平面．…………5分

（2）解法1：由（1）知，平面，平面，所以．因为平面为正方形，所以．因为，所以平面．……………7分取的中点，连结，，因为是等腰梯形，且，，所以．所以△是等边三角形，且．取的中点，连结，，则．因为平面，，所以．因为，所以平面．所以为直线与平面所成角．…10分

因为平面，所以．