湖北省鄂州市临江乡胡林中学高三数学理联考试卷含解析

湖北省鄂州市临江乡胡林中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】两个变量的线性相关；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，|CD|=|CB|，∠C=30°，所以∠CBD=75°，所以E点落在线段CD上的概率是=，故不正确；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力，正确；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），图象关于x=1对称，因为P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21，正确；故正确结论的个数为3，故选：C．2.将函数f(x)=cosx－sinx(xR)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则a的最小值是

A.B.C.D、参考答案：B

【知识点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4C7解析：函数f（x）=cosx﹣==2cos（x+），函数图象向左平移a个单位得到：g（x）=2cos（x+a+）得到的函数的图象关于原点对称，则：，解得：a=（k∈Z），当k=0时，，故选：B．【思路点拨】首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的平移变换和函数图象关于原点对称的条件求出结果．3.设函数f（x）=，则满足不等式f（a）＜的实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，）∪（，+∞） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（，）参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】直接分成两类讨论，①当a≤0时，解得a∈（﹣∞，﹣1）；②当a＞0时，解得a∈（，），再综合即可．【解答】解：分段函数解不等式，直接分段讨论求解，①当a≤0时，f（a）=2a＜=2﹣1，根据指数函数y=2x的单调性，解得a＜﹣1，即a∈（﹣∞，﹣1）；②当a＞0时，f（a）=|log2a|＜，即﹣＜log2a＜，解得a∈（，），综合以上讨论得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（，），故答案为：D．【点评】本题主要考查了分段函数的应用，涉及对数不等式和指数不等式的解法，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．4.已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是（）A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，4）

D．（4，＋∞）参考答案：C5.已知函数，若关于的方程恰有一个实根，则实数的取值范围是（

）A.

B.C.

D.参考答案：B6.已知曲线在点处的切线与直线垂直，若是函数的两个零点，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B考点：函数与方程的关系及数形结合的思想．【易错点晴】本题考查的是以导数的几何意义及函数零点为背景的不等式问题.求解时充分借助题设条件与已知,先运用导数的知识求出函数解析式中的未知数,后依据函数零点的概念建立方程,然后借助题设和函数图象的特征确定零点的取值范围,最后运用不等式的性质求出,从而求出.7.已知集合,,则的真子集个数为(

)

A．5B．7C．31

D．3参考答案：D略8.若双曲线经过点,则该双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.（多选题）设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件,,下列结论正确的是(

)A.S2019<S2020 B.C.T2020是数列{Tn}中的最大值 D.数列{Tn}无最大值参考答案：AB【分析】计算排除和的情况得到，故，得到答案.【详解】当时，，不成立；当时，，不成立；故，且，故，正确；，故正确；是数列中的最大值，错误；故选：【点睛】本题考查了数列知识的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.10.以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；

④若某项测量结果服从正态分布N（1，），且P（≤4）=0．9，则P（≤-2）=0．1．

其中真命题的个数为

A．1

B．2

C3

D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

如果直线与圆相交于两点,且点关于直线对称,则不等式组所表示的平面区域的面积为________.参考答案：

答案：

解析：两点,关于直线对称,,又圆心在直线上

原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域并计算得面积为.12.设，则二项式展开式中的第项的系数为

;参考答案：

13.．若复数z＝sinα－i（1－cosα）是纯虚数，则α=

；参考答案：（2k＋1）π，（k∈Z），依题意，即，所以α＝（2k＋1）π，（k∈Z）。14.某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为_______．参考答案：18

略15.设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬东经，则甲、乙两地的球面距离为

。参考答案：16.

.参考答案：17.已知圆，点在直线上，若过点存在直线与圆交于、两点，且点为的中点，则点横坐标的取值范围是

．参考答案：法一：数形结合法：设，由题意可得，即，解之得．法二：设点，，则由条件得A点坐标为，，从而，整理得，化归为，从而，于是由得。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当时，．参考答案：（1）①时，无交点，②时，有1个交点，③时，无交点（2）详见解析

试题解析：（1）定义域为，的零点个数与的交点个数，①时，无交点，②时，有1个交点，③时，无交点．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）时，存在唯一，使，即，且时，单调递减，时，单调递增，∴，∴当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：函数零点，利用导数证不等式【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.19.已知数列{an}是等差数列，且a2=﹣14，a5=﹣5．（1）求数列{an}的通项an；（2）求{an}前n项和Sn的最小值．参考答案：【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用a2=﹣14，a5=﹣5，建立方程组，求出首项与公差，即可求数列{an}的通项an；（2）路配方法求{an}前n项和Sn的最小值．【解答】解：（1）设{an}的公差为d，由已知条件得，…解得

a1=﹣17，d=3．…∴an=﹣17+（n﹣1）3=3n﹣20．…（2）…当时Sn有最小值

又n∈N+，∴n=6时，f（x）=x2﹣2x+2lnx取到最小值﹣57．…20.已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；（1）若?=﹣1，求sin（α+）的值；（2）O为坐标原点，若|﹣|=，且α∈（0，π），求与的夹角．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）根据已知中A，B，C三点的坐标，我们易求出向量，的坐标，根据=﹣1，我们易得到一个三角方程，解方程即可得到sin（）的值．（2）根据向量减法的三角形法则，我们易将=转化为||=，结合（1）中结论，易构造出关于α的三角方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；∴=（cosα﹣3，sinα）；=（cosα，sinα﹣3）；∴=cos2α+sin2α﹣3（sinα+cosα）=1﹣3（sinα+cosα）=1﹣3sin（）=﹣1∴sin（）=（2）∵=||=||===∴cosα=﹣又∵α∈（0，π）∴α=，则与的夹角为﹣=．【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，同角三角函数关系，辅助角公式，三角函数给值求角，其中根据平面向量数量积运算公式，将问题转化为三角函数问题是解答问题的关键．21.（本小题满分14分）已知抛物线：和直线没有公共点（其中为常数），动点是直线上的任意一点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为，且直线恒过点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知为坐标原点，连接交抛物线于两点，且点在线段之间，求的值.参考答案：（Ⅰ）设依题意可得：直线的方程为，直线的方程为．

可得直线方程恒过点，则∴C的方程为…………7分（Ⅱ）由图知四点共线，可得可转化为距离，设，直线与抛物线方程联立可得，，而展开化简可求得为0，∴=0…………14分22.如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求的A1到平面AB1D的距离．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的