福建省福州市瑟江中学高三数学文下学期摸底试题含解析

福建省福州市瑟江中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.在△ABC中，若则△ABC是 A．等边三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．直角三角形参考答案：D3.由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（

）A．B．C．D．参考答案：D略4.奥运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作。若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A. B.

C.

D.参考答案：答案：A5.定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a参考答案：C【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）为偶函数便可得出f（x）=2|x|﹣1，从而可求出a，b，c的值，进而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：f（x）为偶函数；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴a=f（log0.53）=，，c=f（0）=20﹣1=0；∴c＜a＜b．故选C．6.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（

）参考答案：D根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．

7.已知点A（﹣3，﹣）是抛物线C：y2=2px（p＞0）准线上的一点，点F是C的焦点，点P在C上且满足|PF|=m|PA|，当m取最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．3 B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合||PF|=m|PA|，可得=m，设PA的倾斜角为α，则当m取得最小值时，cosα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：点A（﹣3，﹣）是抛物线C：y2=2px（p＞0）准线x=﹣上的一点，可得﹣=﹣3，即p=6，则抛物线的标准方程为y2=12x，则抛物线的焦点为F（3，0），准线方程为x=﹣3，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则=m，设PA的倾斜角为α，则cosα=m，当m取得最小值时，cosα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx+3k﹣，代入y2=12x，可得y2﹣y+3k﹣=0，∴△=1﹣4??（3k﹣）=0，∴k=或﹣，可得切点P（2，±2），由题意可得双曲线的焦点为（﹣3，0），（3，0），∴双曲线的实轴长为﹣=7﹣5=2，∴双曲线的离心率为e===3．故选：A．8.设函数，则满足的x的取值范围是（A），2]

（B）[0，2]

（C）[1，+）

（D）[0，+）参考答案：D略9.已知集合，Z，则(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C解一元二次不等式：＜2，得：，又，所以，N＝，所以，。10.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若a,b∈R，i为虚数单位，且(a+i)i=b+i，则a+b=

．参考答案：略12.已知为等差数列，其前项和为．若，，，则

▲

．参考答案：8略13.参考答案：1

14.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=____.参考答案：略15.

是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是

参考答案：416.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则

__________参考答案：略17.若函数（,）的部分图像如右图，则

.参考答案：由图象可知，即，所以，即，所以，因为，所以当时，，所以，即。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E的坐标，由两直线垂直可得F的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，b==，则椭圆的标准方程为+=1；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+xE=，可得xE=，yE=k（xE﹣2）=，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得xF=，yF=，由2=+，可得P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=﹣k，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；当s＜0时，t=≥﹣，综上可得直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．19.已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为．（1）求实数的值；（2）若对任意成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明：．参考答案：解：（1）∵，∴，

又∵的图象在点处的切线的斜率为，∴，即，∴；

（2）由（1）知，，∴对任意成立对任意成立，

令，则问题转化为求的最大值，，令，解得，

当时，，∴在上是增函数；当时，，∴在上是减函数．

故在处取得最大值，∴即为所求；

（3）令，则，

由（2）知，，∴，

∴是上的增函数，∵，∴，即，

∴，

即，，，∴，∴．略20.已知函数，，.（1）当时，讨论函数的零点个数．（2）的最小值为m，求的最小值．参考答案：（1）见解析（2）见解析【分析】（1）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得到零点的个数；（2），求导得，可以判断存在零点，可以求出函数的最小值为，可以证明出：，，可证明在上有零点，的最小值为，结合，可求的最小值为.【详解】（1）的定义域为，.①当时，，单调递增，又，，所以函数有唯一零点；②当时，恒成立，所以函数无零点；③当时，令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.当时，，所以函数无零点.综上所述，当时函数无零点.当，函数有一个零点.（2）由题意得，，则，令，则，所以在上为增函数，即在上为增函数.又，，所以在上存在唯一零点，且，，即.当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，的最小值.因为，所以，所以.由得，易知在上为增函数.因为，所以，，所以在上存在唯一零点，且，，当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，所以的最小值为，因为，所以，所以，又，所以，又函数在上为增函数，所以，因为，所以，即在上的最小值为0.21.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是以为直径的半圆上两点，且弧弧.（1）若，证明：直线平分；（2）作交于，证明：.

参考答案：详见解析．试题分析：（1）首先由已知易得，然后根据等弧所对的圆周角相等可得，进而得出证明；（2）由为直径可得，再结合已知可得，进而可得，于是得出∽，最后得出所证的结果即可.试题解析：（1）由题设可知，，因为弧弧，所以，从而，因此，平分.（2）由知，，因为为直径，所以，从而，又因为，所以，因此∽，所以，而，所以.考点：1、相似三角形及其性质.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）若圆C与直线