新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测(含答案解析)

一、选择题1．已知平行六面体中，，，，，．则的长为（）A． B． C． D．2．如图，四边形和都是正方形，为的中点，，则直线与平面所成角的余弦值是（）A． B． C． D．3．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为()A． B． C． D．4．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则线段的长为（）A． B．1 C．2 D．5．已知正方体,为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．6．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为则A． B．C． D．7．在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A． B．且C．且 D．且8．圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面的中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）若则点形成的轨迹的长度为()A． B． C． D．9．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（）A． B． C． D．10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，为的中点，面，且，动点在以为球心半径为1的球面上运动，点在面内运动，且，则长度的最小值为（）A． B． C． D．11．如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（）A． B． C． D．12．在平面直角坐标系中，、，沿x轴将坐标平面折成的二面角，则AB的长为（）A． B． C． D．二、填空题13．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD,若BCD是正三角形，且E为其中心，则的化简结果为________．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AB⊥AC，且AA1=AB=AC，则异面直线AB1与BC1所成角为_____．15．已知平面向量与是共线向量且,则__.16．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．17．如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是______．18．如图，空间四边形中，分别是对边的中点，点在线段上，分所成的定比为2，，则的值分别为_____．19．在空间直角坐标系中，点到原点的距离为__________．20．三棱锥V-ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是_________.三、解答题21．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为，E为棱上的动点，F为棱上的动点，___________，试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．如图.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，ABAD，AD=2BC=2，四边形ABB1A1和ADD1A1均为正方形.（1）证明；平面ABB1A1平面ABCD；（2）求二面角B1CD-A的余弦值.23．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．（1）求证：平面．（2）求二面角的余弦值．24．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，已知，E为的中点．（1）求证；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（3）求二面角的余弦值．25．如图，平面平面，其中四边形为正方形，四边形为直角梯形，，M为线段上一点，平面．（1）确定点M的位置，并证明你的结论；（2）求直线与平面所成角的正弦值．26．如图，四棱锥中中，底面是直角梯形，，，，侧面底面，且为等腰直角三角形，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】用空间向量基本定理表示出，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】记，，，则，同理，，由空间向量加法法则得，∴，∴，即．故选：A．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C【分析】以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向，过作垂直平面的直线作轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向，过作垂直平面的直线作轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，得、、、，则，，，设平面的法向量为，则，取，则，，所以，平面的一个法向量为，从而，故直线与平面所成角的余弦值是.故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.3．D解析：D【分析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离.【详解】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，点到平面的距离为，故选D.【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.4．A解析：A【分析】由，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出的值，从而可得结果.【详解】平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，，线段的长为，故选A.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.5．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量与的向量坐标，利用数量积求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则，，，，∵为的中点∴∴，；，.∴异面直线与所成角的余弦值为故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM（或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．6．B解析：B【解析】设菱形中横向单位向量为纵向单位向量为，则，，，，故选B.7．D解析：D【分析】试题分析：结合其空间立体图形易知，，，所以且，故选D．考点：空间直角坐标系及点的坐标的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式．8．C解析：C【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【详解】建立空间直角坐标系．设A（0，﹣1，0），B（0，1，0），S（0，0，），M（0，0，），P（x，y，0）．于是有（0，1，），（x，y，）．由于AM⊥MP，所以（0，1，）•（x，y，）＝0，即y，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2．故选C．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题9．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，找到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.设平面的法向量为，则，即令，得.又，点到平面的距离，故选：.【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.10．C解析：C【分析】若要使最短，点必须落在平面内，且一定在的连线上，此时应满足四点共线，通过几何关系即可求解【详解】如图，当点落在平面内，且四点共线时，距离应该最小，由可得，即点在以为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得，，故故答案选：C【点睛】本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题11．B解析：B【分析】如图建立空间直角坐标系，可证明平面，故平面的一个法向量为：，利用点到平面距离的向量公式即得解.【详解】如图建立空间直角坐标系，则：由于平面平面，又，平面故平面的一个法向量为：到平面的距离为：故选：B【点睛】本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.12．D解析：D【分析】作轴于C，轴于D，则，两边平方后代入数量积即可求得，则AB

的长可求．【详解】如图，，，作轴于C，轴于D，则，，，，，沿x轴把坐标平面折成的二面角，，，且，．．即AB

的长为．故选：D．【点睛】本题主要考查了空间角，向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果【详解】如图取BC的中点F连结DF则∴【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果.【详解】如图，取BC的中点F，连结DF，则，∴.【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【解析】连结A1B∵AA1⊥面ABC平面A1B1C1∥面ABC∴AA1⊥平面A1B1C1∵A1C1⊂平面A1B1C1∴AA1⊥A1C1∵△ABC与△A1B1C1是全等三角形AB⊥AC∴A1B1⊥A1解析：【解析】连结A1B，∵AA1⊥面ABC，平面A1B1C1∥面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，∵A1C1⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，∵△ABC与△A1B1C1是全等三角形，AB⊥AC，∴A1B1⊥A1C1，∵A1B1∩AA1=A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1，∵矩形AA1B1B中，AA1=AB，∴四边形AA1B1B为正方形，可得A1B⊥AB1，∵A1B∩A1C1=A1，∴AB1⊥平面A1BC1，结合BC1⊂平面A1BC1，可得AB1⊥BC1，即异面直线AB1与BC1所成角为．故答案为．15．【解析】∵向量与是共线向量∴∴或∵∴即∴则∴故答案为解析：【解析】∵向量与是共线向量∴∴或∵∴，即∴，则∴故答案为16．【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知AC的中点即为BD的中点AC的中点设D(xyz)则∴x＝5y＝13z＝－3故D(513－3)解析：【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点，设D(x，y，z)，则∴x＝5，y＝13，z＝－3，故D(5,13，－3)．17．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法计算出异面直线的公垂线的长度即为所求【详解】由题意可知线段长度的最小值为异面直线的公垂线的长度如下图所示以点为坐标原点所在直线分解析：【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求.【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、、，所以，，，，设向量满足，，由题意可得，解得，取，则，，可得，因此，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将长度的最小值转化为异面直线、的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.18．【解析】∵∴∴故答案为解析：【解析】∵，，，，∴，∴，，故答案为19．【解析】距离解析：【解析】距离20．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定解析：【解析】分析：设的中点为，连接，由余弦定理可得，利用三角函数的有界性可得结果.详解：设的中点为，连接，则是二面角的平面角，可得，在三角形中由余弦定理可得，，即的取值范围是，为故答案为.点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.三、解答题21．答案见解析【分析】先利用已知条件写出点坐标，设，进而得到的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示求出；若选①：利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量垂直的性质即可求解；若选②：利用空间向量模的坐标表示公式即可得出结果；若选③：利用空间向量夹角的性质进行求解即可.【详解】解：由题意，正方体棱长为2，则，设，则，所以.选择①：，所以，得，若得，则，故存在点，满足，.选择②：因为，所以，得，若，即，得.故存在点，满足，.选择③：因为，所以与不共线，所以，即，则，故不存在点满足.【点睛】关键点睛：建立空间坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示、空间向量垂直的性质、空间向量模的坐标表示公式以及空间向量夹角的性质是解决本题的关键.22．（1）详见解析；（2）.【分析】（1）根据四边形ABB1A1和ADD1A1均为正方形，得到，再由线面垂直的判定定理证得平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证明.（2）以A为原点，以分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,求得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，然后由求解.【详解】（1）因为四边形ABB1A1和ADD1A1均为正方形.所以，所以平面ABCD；又因为平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面ABCD；（2）以A为原点，以分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，又平面的一个法向量为，所以，二面角B1CD-A的余弦值是.【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．23．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，可得，即可证平面；（2）建立如图所示空间直角坐标系，然后写出各点坐标，得平面的法向量为，计算平面的法向量，利用数量积公式代入计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取的中点，连接因为、为、的中点，所以且，又因为，，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因为平面，，所以建立如图所示空间直角坐标系，则，，由题意可知平面，设平面的法向量所以，则，得设二面角的平面角为，所以，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过中位线平行证明线线平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.24．（1）证明见解析（2）（3）【分析】(1)由可得出，再由菱形性质可得，即可证明平面，可得；（2）先证明平面，可以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；（3）由（2）利用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）设交点为,连接，是边长为2的菱形，是的中点，，又平面,平面，，平面，平面，（2）是等边三角形，又是等边三角形，，又平面，以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系如图:则，，而是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.(3)由（2）知,设平面的法向量，则,,令，得，所以，又平面,是平面的一个法向量，，二面角的余弦值为.【点睛】关键点点睛：根据题目所给条件，利用平面几何知识证明，再根据，证明平面，得以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系是解题的关键所在.25．（1）点M在的中点处，证明见解析；（2）.【分析】（1）首先观察图形的特征，确定点的位置，之后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，设出边长，写出点的坐标，利用向量法求得线