吉林省长春市东方实验中学高三数学理联考试卷含解析

吉林省长春市东方实验中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量,则的充要条件是（）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A．{﹣，} B．{，﹣} C．{﹣，，} D．{﹣，﹣，}参考答案：C【分析】三条直线若两两相交围成一个三角形，则斜率必不相同；否则，只要有两条直线平行，或三点共线时不能构成三角形．【解答】解：∵三条直线不能围成一个三角形，∴（1）l1∥l3，此时m=；l2∥l3，此时m=﹣；（2）三点共线时也不能围成一个三角形2x﹣3y+1=0与4x+3y+5=0交点是（﹣1，﹣）代入mx﹣y﹣1=0，则m=．故选：C．【点评】本题考查两直线平行的条件，当斜率相等且截距不相等时两直线平行．属于基础题．3.一个算法的程序框图如下图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（

）A.i≤5?

B.i≤4?

C.i≥4?

D.i≥5?参考答案：B4.已知集合（其中为虚数单位），，，则复数的共轭复数为

A．

B．

C．

D．参考答案：D

【知识点】复数的基本概念；并集及其运算．L4解析：由，可得，即得，，的共轭复数为,故选．【思路点拨】根据集合关系求出z的值即可得到结论．5.等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和是(

)A.130

B.170

C.210

D.260参考答案：C略6.双曲线的左右焦点为,是双曲线右支上一点，满足条件,直线与圆相切，则双曲线的离心率为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：【知识点】双曲线的简单性质．H6D

解析：设与圆相切于点M，因为，所以△为等腰三角形，所以，又因为在直角△中，||2=||2﹣a2=c2﹣a2，所以①又

②，③由①②③解得．故选D．【思路点拨】先设PF1与圆相切于点M，利用，及直线与圆相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．7.已知E，F，G，H分别是四面体ABCD棱AB，BC，CD，DA上的点，且，，,，则下列说法错误的是（

）A．平面

B．平面C.直线相交于同一点

D．参考答案：BA:，，,，可得到GH平行于AC，EF平行于AC，故平面得到，选项正确.B:因为BD和FH不平行，而且两条直线在同一平面内，故得到两直线延长后相交，可得到BD与平面EFG是相交的关系.选项不正确.D:，，,，可得到GH平行于AC，EF平行于AC，由平行线的传递性得到，选项正确.故答案为：B.

8.已知则“”是“”的 （

） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A9.已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（）

A．－1

B．1－log20132012

C．-log20132012

D．1参考答案：A函数的导数为，所以在处的切线斜率为，所以切线斜率为，令得，所以，所以，选A.10.某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

（

）.A．，

B．，

C．，

D．，

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若某空间几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积是

.参考答案：12.在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则=

．参考答案：3考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：先把已知条件利用切化弦，所求的式子是边的关系，故考虑利用正弦定理与余弦定理把式子中的三角函数值化为边的关系，整理可求解答： 解：由题设知：，即，由正弦定理与余弦定理得，即故答案为：3点评：本题主要考查了三角函数化简的原则：切化弦．考查了正弦与余弦定理等知识综合运用解三角形，属于基础知识的简单综合．13.求值：_

_

．参考答案：【知识点】三角函数的二倍角公式.C6【答案解析】解析：解：由三角函数化简可知【思路点拨】根据已知式子我们可向公式的方向列出条件，结合二倍角公式进行化简.14.已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为

.参考答案：15.已知平面向量，的夹角为60°，，，则参考答案：16.已知函数，若f（a）﹣2f（﹣a）＞0，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣1，0）∪（1，+∞）【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】结合已知的函数解析式和对数函数的图象和性质，分别求出不同情况下实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：若a＞0，则﹣a＜0，不等式f（a）﹣2f（﹣a）＞0可化为：=3log2a＞0，解得：a∈（1，+∞）；若a＜0，则﹣a＞0，不等式f（a）﹣2f（﹣a）＞0可化为：=3＞0，解得：a∈（﹣1，0）；综上所述，a∈（﹣1，0）∪（1，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，难度中档．17.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2n－1+k，则f(x)=x3－kx2－2x+1的极大值

参考答案：

;

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（I）若函数上是减函数，求实数的最小值；（2）若，使（）成立，求实数的取值范围.参考答案：，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；19.本小题满分10分）选修2—1：圆锥曲线与方程

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足//，·＝·，M点的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．参考答案：(1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，＝(x，－2)．再由题意可知(＋)·＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0，所以曲线C的方程为y＝x2－2．(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2上一点，因为y′＝x，所以l的斜率为x0．因此直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－x＝0．则O点到l的距离d＝，又y0＝x－2，所以d＝≥2，当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．20.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性均为．(1)求甲以4比0或4比1获胜的概率；(2)求比赛局数X的分布列及均值．参考答案：（1）；(2)分布列见解析，.【分析】(1)分别求解甲以4比0和4比1获胜的概率，然后求和可得；（2）先求解比赛局数的所有取值，再分别求解每个取值所对应的概率，列出分布列，求出均值.【详解】（1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.

甲以4比0或4比1获胜的概率P(A)＝·（2）设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7．

，，，，

比赛局数的分布列为X4567P

E(X)=.【点睛】本题主要考查独立事件的概率及随机变量的分布列和均值，随机变量的分布列的求解一般是先求随机变量的可能的取值，然后求解每个取值对应的概率，列出分布列.均值的求解一般是代入公式可得，侧重考查数学建模的核心素养.21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AC，PA⊥平面ABCD．（1）若E为棱PC的中点，求证PD⊥平面ABE；（2）若AB=3，求点B到平面PCD的距离．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理可得CD⊥平面PAC，CD⊥AE．利用等腰三角形的性质与线面垂直的判定定理可得：AE⊥平面PCD，可得AE⊥PD．利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理可得AB⊥PD，进而证明结论．（2）解法一：设点B的平面PCD的距离为d，利用VB﹣PCD=VP﹣BCD即可得出．解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴．过点C作CM⊥AD，垂足为M，设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，利用点B到平面PCD的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE．∵AC=PA，E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．（2）解法一：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴．设点B的平面PCD的距离为d，则．在△BCD中，∠BCD=150°，∴．∴，∵VB﹣PCD=VP﹣BCD，∴，解得，即点B到平面PCD的距离为．解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴．过点C作CM⊥AD，垂足为M，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（，，0），D（0，2，0），P（0，0，3），=（﹣，，0），=（0，2，﹣3），=．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（1，，2）．∴点B到平面PCD的距离d===．22.设集合A={x|（2+x）（3﹣x）≥0}，B=（1）求集合A；（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，试求实数k的取值范围．参考答案：考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：集合；简易逻辑．分析：（1）利用一元二次不等式的解法即可得出；（2）记g（x）=kx2+4x+k+3，由g（x）≥0在R上有解，而k＜0，由△≥0，得﹣4≤k＜0，对k分类讨论，及其充要条件的