湖南省张家界市市永定区西溪坪街道办事处关门岩中学高三数学理模拟试题含解析

湖南省张家界市市永定区西溪坪街道办事处关门岩中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（

）A．

B．

C.

1

D．参考答案：B根据题中三视图，知该几何体为三棱锥，则该三棱锥的体积为，故正确答案为B.

2.一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,则样本中男运动员的人数为

(

).（A）16

（B）14

（C）12

（D）10参考答案：A3.定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足则的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：C考点：简单线性规划的应用；函数的单调性与导数的关系．专题：压轴题；图表型．分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．解答：解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，∴0＜2a+b＜4，∴b＜4﹣2a，0＜a＜2，画出可行域如图．k=表示点Q（﹣1，﹣1）与点P（x，y）连线的斜率，当P点在A（2，0）时，k最小，最小值为：；当P点在B（0，4）时，k最大，最大值为：5．取值范围是C．故选C．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减4.设向量，，定义一种向量积：．已知向量，，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是（

）A．2

B．

C．

D．4参考答案：D略5.阅读右侧程序框图，输出的结果的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：B的函数值构成周期为6的数列，且，则

6.抛物线（）的焦点为，其准线经过双曲线（，）的左焦点，点为这两条曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C7.从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（

）A.7 B.9 C.10 D.13参考答案：C【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为，，三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为时，共有种排法；（2）当三个数为时，共有种排法；（3）当三个数为时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有种不同排法，即这样的数共有10个.故选：C.【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，]内，则输入的实数x的取值范围是

()

A．(－∞，0)∪[，]

B．(－∞，－1]∪[，]

C．(－∞，－1]

D．[，]参考答案：B9.曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为

(

)Ａ.２Ｂ.－２

Ｃ.Ｄ.参考答案：A略10.已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（） A． （1，+∞） B． （﹣∞，﹣1） C． （﹣1，1） D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的加法与减法法则．专题： 计算题．分析： 构造函数g（x）=f（x）﹣x﹣1，g'（x）=f′（x）﹣1＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．解答： 解：令g（x）=f（x）﹣x﹣1，∵f′（x）＜1（x∈R），∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，∴g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，又f（1）=2，∴g（1）=f（1）﹣1﹣1=0，∴不等式f（x）＜x+1的解集?g（x）=f（x）﹣x﹣1＜0=g（1）的解集，即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，∴x＞1，即x∈（1，+∞）．故选A．点评： 本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为（），曲线C在点（2，）处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为

▲

.参考答案：12.已知，，若直线与直线互相垂直，则ab的最大值是__________．参考答案：.分析：根据两直线垂直的条件，求出满足的关系式，再利用基本不等式求出的最大值。详解：因为直线与直线互相垂直，所以，，又，所以，当且仅当，即时，等号成立。所以的最大值为。点睛：本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题。本题使用基本不等式时，注意凑项，方便使用基本不等式。13.已知圆柱的吗，母线长为，底面半径为，是上底面圆心，是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图，若直线与所成角的大小为，则__________

参考答案：【知识点】异面直线及其所成角

G3【答案解析】

解析：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为，在直角三角形ODA中，因为∠OAD＝，所以，故答案为：【思路点拨】：过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD＝，在直角三角形ODA中，直接由即可计算出。14.已知程序框图如右，则输出的=

．K参考答案：9因为,所以当S=105时退出循环体，因而此时i=9,所以输出的i值为915.已知sinθ﹣2cosθ=，则tan（θ十）的值为．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanθ的值，再利用两角和的正切公式求得tan（θ十）的值．【解答】解：∵sinθ﹣2cosθ=，∴平方可得1+3cos2θ﹣4sinθcosθ=5，即=4，即=4，求得tanθ=﹣

则tan（θ十）===，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，属于基础题．16.已知公差不为0的等差数列{an}，若a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则a1=，an=．参考答案：1，an=2n﹣1．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设等差数列{an}的公差为d≠0，由a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，可得a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），解得a1，d即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则2a1+4d=10，a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），解得a1=1，d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．故答案为：1，an=2n﹣1．17.设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点D（0，－2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由参考答案：因为，所以四边形OANB为平行四边形，

假设存在矩形OANB，则

即，

所以，

…………10分

设N（x0，y0），由，得

，即N点在直线，

所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为

略19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界组成的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．参考答案：【测量目标】（1）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.（2）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1），则在上是增函数，故，即，

……………2分故，所以是有界函数．

……………4分所以，上界满足，所有上界的集合是．……6分（2）因为函数在上是以为上界的有界函数，故在上恒成立，即，所以，（），…………8分所以（），令，则，故在上恒成立，所以，（），

………11分令，则在时是减函数，所以；…12分令，则在时是增函数，所以．…13分所以，实数的取值范围是．

……14分20.已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．参考答案：（Ⅰ）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（Ⅱ）联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1?k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|?|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，为等边三角形。（Ⅰ）当PB长为多少时，平面PAD⊥平面ABCD？并说明理由；（Ⅱ）若二面角的大小为150°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值。

参考答案：（Ⅰ）当时，平面平面.

理由如下：在中，结合已知有，，满足勾股定理，所以.

又，，所以.

而，所以平面平面.

（Ⅱ）分别取线段的中点,连接.因为为等边三角形，为的中点，所以，且.又，所以，故为二面角的平面角，所以.

如图，分别以,的方向以及过点垂直于平面向上的方向作为轴的正方向，建立空间直角坐标系.因为,,所以，，，，可得设为平面的一个法向量，则有.即，令=1，可

直线与平面所成角为,则有所以直线与平面所成角的正弦值为.