广西壮族自治区柳州市南环中学高三数学文期末试卷含解析

广西壮族自治区柳州市南环中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设,则=(

)

A．

B.

C.

D.参考答案：D略2.已知直线l1：x=﹣4和直线l2：3x+4y+18=0，P是抛物线y2=16x上的点，P到l1、l2距离之和最小时，P到直线l2的距离是（）A．1 B．2 C．5 D．6参考答案：A【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求得焦点坐标根据抛物线的定义可知：当F，P，D三点共线时丨PF丨+丨PD丨最小，求得DF的方程，代入抛物线方程，求得P点坐标，利用点到直线的距离公式即可求得P到直线l2的距离．【解答】解：由抛物线y2=16x焦点为（4，0），由抛物线的定义可知：丨PC丨=丨PF丨，P到直线l2的距离d为丨PD丨，则丨PC丨+丨PD丨=丨PF丨+丨PD丨，当F，P，D三点共线时丨PF丨+丨PD丨最小，最小值为丨FD丨==6，直线DF的斜率为，DF的方程为：y=（x﹣4），，解得：或（舍去），则P点坐标为（1，﹣4），P到直线l2的距离d==1，P到直线l2的距离1，故选A．【点评】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．3.若△ABC内接于以为圆心，1为半径的圆，且，则的值为

（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略4.一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影方砖上的概率为A．

B．

C．

D.参考答案：C5.的值为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B略6.已知函数，若，则实数m的取值范围是（

）A．(－1,0)∪(1,+∞) B．(－∞,－1)∪(1,+∞)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞,－1)∪(0,1)参考答案：A由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式，即，即，观察函数图像可得实数的取值范围是．故选A．7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为105，则输入的n（n∈N+）值可能为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：D【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=105，i=9时由题意，应该不满足条件9＜n，输出S的值为105，由7＜n＜9，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=1满足条件i＜n，S=1，i=3满足条件i＜n，S=3，i=5满足条件i＜n，S=15，i=7满足条件i＜n，S=105，i=9此时，由题意，应该不满足条件9＜n，退出循环，输出S的值为105．故7＜n＜9，故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基础题．8.已知全集U＝R，集合，，则集合M，N的关系用韦恩（Venn）图可以表示为 （

）参考答案：B略9.已知满足：，，则BC的长（

）A.2

B.1

C.1或2

D.无解参考答案：C略10.在中，，则=A．-1 B．1 C． D．-2参考答案：A【知识点】两角和与差的三角函数同角三角函数的基本关系式解：因为

所以

故答案为：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数的部分图象如图所示，则该函数解析式是

.参考答案：12.（5分）（2015?兰山区校级二模）下列说法正确的是（填上你认为正确选项的序号）①函数y=﹣sin（kπ+x）（k∈Z）是奇函数；②函数y=﹣2sin（2x+）在区间（0，）上是增函数；③函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期为π；④函数y=2tan（+）的一个对称中心是（，0）．参考答案：①③④【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：①，利用诱导公式可知函数y=﹣sin（kπ+x）=±sinx（k∈Z）是奇函数，可判断①；②，x∈（0，）（2x+）∈（，），利用正弦函数的单调性质可知函数y=2sin（2x+）在区间（0，）上是增函数，从而可判断②；③，利用余弦函数的周期性可知函数y=cos2x﹣sin2x=cos2x的最小正周期为π，可判断③；④，利用正切函数的对称性，由+=（k∈Z）得：x=kπ﹣（k∈Z），再对k赋值，可判断④．解：对于①，函数y=﹣sin（kπ+x）=±sinx（k∈Z）是奇函数，故①正确；对于②，当x∈（0，）时，（2x+）∈（，），故函数y=2sin（2x+）在区间（0，）上是增函数，函数y=﹣2sin（2x+）在区间（0，）上是减函数，故②错误；对于③，函数y=cos2x﹣sin2x=cos2x的最小正周期为T==π，故③正确；对于④，由+=（k∈Z）得：x=kπ﹣（k∈Z），所以函数y=2tan（+）的对称中心是（kπ﹣，0），当k=1时，（，0）为函数y=2tan（+）的一个对称中心，故④正确．综上所述，以上说法正确的是①③④，故答案为：①③④．【点评】：本题考查正弦函数与余弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，熟练掌握正弦、余弦函数的图象与性质是关键，属于中档题．13.设函数，记，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是

.参考答案：【测量目标】分析问题和解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、基本数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数与对数函数/指数方程和对数方程.【试题分析】函数有仅仅有两个亮点，则函数和直线的图像只有两个交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象：①当，即时，，如图所示，要使得两函数有两个交点，则只需解得.②当，即时，如图所示，

第13题图(2)

PT3要使得两函数在()上有两个交点,则只需解得.综上，的取值范围为，故答案为.14.已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为．参考答案：52π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】折叠为空间立体图形，得出四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，利用平面问题求解得出四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，求解即可．【解答】解：由，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2．设四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，所以表面积是52π．故答案为：52π．15.若复数为纯虚数，则m=．参考答案：2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】先将a﹣i1+i化简为代数形式，再根据纯虚数的概念，令其实部为0，虚部不为0，求出m值．【解答】解：=+i，根据纯虚数的概念得出，解得m=2．故答案为：2【点评】本题考查复数的除法运算，复数的分类，纯虚数的概念．属于基础题．16.已知，若，则

．参考答案：-1或略17.已知向量，向量，若，则实数的值为

参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．

（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；

（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；

（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中．当数据的方差最大时，写出的值．（结论不要求证明）

（注：，其中为数据的平均数）参考答案：【知识点】样本的数据特征古典概型【试题解析】（Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，

所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有人．

（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在”为事件，

记体育成绩在的数据为，，体育成绩在的数据为，，，

则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，它们是：，，

，，，，，，，．

而事件的结果有7种，它们是：，，，，，，，

因此事件的概率．

（Ⅲ）a，b，c的值分别是为，，．19.（10分）（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线相交于点M，在OM上取一点P，使．（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为上任意一点，试求RP的最小值．参考答案：解析：（1）设，，

----------5分

（2）

-------------10分20.18．（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。

参考答案：21.（12分）对于函数f（x）=x2﹣lnx．（1）求其单调区间；（2）点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，求点P到直线y=x﹣2的最小距离；（3）若g（x）=8x﹣7lnx﹣k，f（x）与g（x）两个函数图象有三个交点，求k的取值范围．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：（1）根据题意得f（x）的定义域为x＞0，通过f′（x）即得单调区间；（2）由题，令f′（x）==1，解得x=1或（舍），此时y=1﹣ln1=1，即曲线上过P（1，1）的切线平行于直线y=x﹣2时，有最小距离d==；（3）令f（x）=g（x），记G（x）=﹣x2+8x﹣6lnx，讨论G′（x）即得结论．解：（1）根据题意，得f（x）的定义域为x＞0，所以f′（x）=2x﹣=，故当x∈（0，）时f′（x）＜0，即在此区间内单调减；当x∈（，+∞）时f′（x）＞0，即在此区间里单调增；（2）由题，知直线y=x﹣2的斜率为k=1，令f′（x）==1，得2x2﹣x﹣1=（2x+1）（x﹣1）=0，解得x=1或（舍），此时y=1﹣ln1=1，即曲线上过P（1，1）的切线平行于直线y=x﹣2时，那么这一点到直线的距离最小，此最小距离d==；（3）令f（x）=g（x），即x2﹣lnx=8x﹣7lnx﹣k，得k=﹣x2+8x﹣6lnx，记G（x）=﹣x2+8x﹣6lnx，令G′（x）===0，解得，x1=1，x2=3，不难判断x1=1是极小点，x2=3是极大点，故Gmin（x）=G（1）=﹣1+8=7，Gmax（x）=G（3）=﹣9+24﹣6ln3=15﹣6ln3，又当x→0时，G（x）→+∞，当x→+∞时，G（x）→﹣∞，故要使f（x）与g（x）两个函数的图象有三个交点，必须有：7＜k＜15﹣6ln3．【点评】：本题考查函数的单调性，点到直线的距离，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．22.

过轴上动点，引抛物线的两条切线、。切线斜率分别为和，切点分别为、。（1）求证：为定值；并且直线过定点；（2）记，当最小时，求的值。参考答案：（1）（法一）证明：设过A点的直线为：与抛物线联立得：得：∴，为定值。

………4分抛物线方程，求导得，设切点坐标分别为，∴，设切点坐标分别为，PQ的直线方程：，由，得到整理可得

∴直线过定点。