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文档简介

湖南省郴州市清和中学高三数学文期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆,直线与直线相交于点P,且P点在椭圆内恒成立,则椭圆C的离心率取值范围为(

)A. B. C. D.参考答案:A【分析】先求得椭圆焦点坐标,判断出直线过椭圆的焦点.然后判断出,判断出点的轨迹方程,根据恒在椭圆内列不等式,化简后求得离心率的取值范围.【详解】设是椭圆的焦点,所以.直线过点,直线过点,由于,所以,所以点的轨迹是以为直径的圆.由于点在椭圆内恒成立,所以椭圆的短轴大于,即,所以,所以双曲线的离心率,所以.故选:A【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系,考查动点轨迹的判断,考查椭圆离心率的取值范围的求法,属于中档题.2.下面是关于复数z=的四个命题:其中的真命题为(),p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为﹣1.A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4参考答案:C【考点】复数的基本概念;命题的真假判断与应用.【分析】由z===﹣1﹣i,知,,p3:z的共轭复数为﹣1+i,p4:z的虚部为﹣1,由此能求出结果.【解答】解:∵z===﹣1﹣i,∴,,p3:z的共轭复数为﹣1+i,p4:z的虚部为﹣1,故选C.3.定义域为的函数对任意都有,且其导函数满足,则当时,有

(A).

(B).

(C).

(D).参考答案:B略4.函数的图象是 ()A.

B. C.

D.参考答案:B略5.已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是()A.?x∈R,f(-x)≠f(x)B.?x∈R,f(-x)≠-f(x)C.?x0∈R,f(-x0)≠f(x0)D.?x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)参考答案:C【分析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答.【详解】∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴?x∈R,f(-x)=f(x)为假命题,∴?x0∈R,f(-x0)≠f(x0)为真命题.故选:C【点睛】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.6.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y﹣4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A. B. C. D.参考答案:C考点: 抛物线的应用.

专题: 计算题;压轴题.分析: 先根据抛物线方程求得焦点坐标,根据圆的方程求得圆心坐标,根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值,根据图象可知当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小,为圆心到焦点F的距离减去圆的半径.解答: 解:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y﹣4)2=1的圆心为C(0,4),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为:,故选C.点评: 本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想.7.

设,则使得为奇函数,且在上单调递减的的个数是(

)

A.1

B.2

C.3

D.4参考答案:A

8.已知数列满足,,则当时,为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案:C9.已知双曲线C:的虚轴长为,右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为,则双曲线C的方程为(

)A.

B.

C.

D.参考答案:A10.已知函数满足,且是偶函数,当时,,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围是(

)A

B

C

D参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.奇函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,f(1)=2,则f(3)=

。参考答案:﹣2略12.不等式的解集为

.参考答案:13.已知双曲线的方程为,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为.参考答案:1考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程,再代入点到直线的距离公式即可求出结论.解答:解:由题得:其焦点坐标为(﹣2,0),(2,0).渐近线方程为y=±x,即y﹣x=0,所以焦点到其渐近线的距离d==1.故答案为:1.点评:本题以双曲线方程为载体,考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,属于基础题.14.已知的方程是,的方程是,由动点向和所引的切线长相等,则运点的轨迹方程是__________________参考答案:答案:解析::圆心,半径;:圆心,半径.设,由切线长相等得,.15.将函数的图像按向量()平移,所得图像对应的函数为偶函数,则的最小值为

.参考答案:由题意知,按平移,得到函数,即,此时函数为偶函数,所以,所以,所以当时,的最小值为。16.若不等式组表示的平面区域的面积为5,则的值为

参考答案:17.已知平面向量与垂直,则=

.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知是正实数,设函数。(Ⅰ)设,求的单调区间;(Ⅱ)若存在,使且成立,求的取值范围。参考答案:

(iii)当,即时,单调递减。当时恒成立

综上所述,

略19.已知以原点O为中心,为右焦点的双曲线的离心率(Ⅰ)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;(Ⅱ)如图,已知过点的直线:与过点的直线的交点E在双曲线C上,直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点,求的面积。参考答案:(1)设C的标准方程为在由题意,因此,则曲线C的标准方程为,曲线C的渐近线方程为。(2)解法一:由题意点在直线,因此有故点M,N均在直线上,因此直线MN的方程为,设G,H分别是直线MN与渐近线,由方程组解得,设MN与轴的交点为,则在直线中令,得(易得),注意到,得解法二:设,由方程组得,因为,则直线MN的斜率,故直线MN的方程为注意到因此直线MN的方程为下同解法一,20.如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆E:(a>b>0)的离心率为,直线l:y=与椭圆E相交于A,B两点,AB=2,C,D是椭圆E上异于A,B两点,且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N.(1)求a,b的值;(2)求证:直线MN的斜率为定值.参考答案:解:(1)因为e==,所以c2=a2,即a2﹣b2=a2,所以a2=2b2;…(2分)故椭圆方程为+=1;由题意,不妨设点A在第一象限,点B在第三象限,由解得A(b,b);又AB=2,所以OA=,即b2+b2=5,解得b2=3;故a=,b=;

…(5分)(2)方法一:由(1)知,椭圆E的方程为+=1,从而A(2,1),B(﹣2,﹣1);①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2,C(x0,y0),显然k1≠k2;从而k1?kCB=?====﹣,所以kCB=﹣;

…(8分)同理kDB=﹣,于是直线AD的方程为y﹣1=k2(x﹣2),直线BC的方程为y+1=﹣(x+2);由解得;从而点N的坐标为(,);用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,);…(11分)所以kMN===﹣1;即直线MN的斜率为定值﹣1;

…(14分)②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,﹣1);仍然设DA的斜率为k2,由①知kDB=﹣;此时CA:x=2,DB:y+1=﹣(x+2),它们交点M(2,﹣1﹣);BC:y=﹣1,AD:y﹣1=k2(x﹣2),它们交点N(2﹣,﹣1),从而kMN=﹣1也成立;由①②可知,直线MN的斜率为定值﹣1;

…(16分)方法二:由(1)知,椭圆E的方程为+=1,从而A(2,1),B(﹣2,﹣1);①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2;显然k1≠k2;直线AC的方程y﹣1=k1(x﹣2),即y=k1x+(1﹣2k1);由得(1+2k12)x2+4k1(1﹣2k1)x+2(4k12﹣4k1﹣2)=0;设点C的坐标为(x1,y1),则2?x1=,从而x1=;所以C(,);又B(﹣2,﹣1),所以kBC==﹣;

…(8分)所以直线BC的方程为y+1=﹣(x+2);又直线AD的方程为y﹣1=k2(x﹣2);由解得;从而点N的坐标为(,);用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,);…(11分)所以kMN===﹣1;即直线MN的斜率为定值﹣1;

…(14分)②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,﹣1);仍然设DA的斜率为k2,则由①知kDB=﹣;此时CA:x=2,DB:y+1=﹣(x+2),它们交点M(2,﹣1﹣);BC:y=﹣1,AD:y﹣1=k2(x﹣2),它们交点N(2﹣,﹣1),从而kMN=﹣1也成立;由①②可知,直线MN的斜率为定值﹣1.

…(16分)考点:椭圆的简单性质.专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(1)根据椭圆的几何性质,利用离心率e以及AB的长,求出a、b的值;(2)方法一:结合椭圆E的方程,求出A、B的坐标,讨论:①CA,CB,DA,DB斜率都存在时,利用斜率的关系,写出直线方程,与椭圆方程联立,求出M、N的坐标,计算kMN的值;②CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,求出M、N的坐标,计算kMN的值;从而得出正确的结论.方法二:利用椭圆E的方程,求出A、B的坐标,讨论:①CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设出直线的斜率,由直线与椭圆联立,求出M、N点的坐标,计算kMN的值;②CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,求出M、N点的坐标,计算kMN的值,即可得出正确的结论.解答:解:(1)因为e==,所以c2=a2,即a2﹣b2=a2,所以a2=2b2;…(2分)故椭圆方程为+=1;由题意,不妨设点A在第一象限,点B在第三象限,由解得A(b,b);又AB=2,所以OA=,即b2+b2=5,解得b2=3;故a=,b=;

…(5分)(2)方法一:由(1)知,椭圆E的方程为+=1,从而A(2,1),B(﹣2,﹣1);①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2,C(x0,y0),显然k1≠k2;从而k1?kCB=?====﹣,所以kCB=﹣;

…(8分)同理kDB=﹣,于是直线AD的方程为y﹣1=k2(x﹣2),直线BC的方程为y+1=﹣(x+2);由解得;从而点N的坐标为(,);用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,);…(11分)所以kMN===﹣1;即直线MN的斜率为定值﹣1;

…(14分)②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,﹣1);仍然设DA的斜率为k2,由①知kDB=﹣;此时CA:x=2,DB:y+1=﹣(x+2),它们交点M(2,﹣1﹣);BC:y=﹣1,AD:y﹣1=k2(x﹣2),它们交点N(2﹣,﹣1),从而kMN=﹣1也成立;由①②可知,直线MN的斜率为定值﹣1;

…(16分)方法二:由(1)知,椭圆E的方程为+=1,从而A(2,1),B(﹣2,﹣1);①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2;显然k1≠k2;直线AC的方程y﹣1=k1(x﹣2),即y=k1x+(1﹣2k1);由得(1+2k12)x2+4k1(1﹣2k1)x+2(4k12﹣4k1﹣2)=0;设点C的坐标为(x1,y1),则2?x1=,从而x1=;所以C(,);又B(﹣2,﹣1),所以kBC==﹣;

…(8分)所以直线BC的方程为y+1=﹣(x+2);又直线AD的方程为y﹣1=k2(x﹣2);由解得;从而点N的坐标为(,);用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,);…(11分)所以kMN===﹣1;即直线MN的斜率为定值﹣1;

…(14分)②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,﹣1);仍然设DA的斜率为k2,则由①知kDB=﹣;此时CA:x=2,DB:y+1=﹣(x+2),它们交点M(2,﹣1﹣);BC:y=﹣1,AD:y﹣1=k2(x﹣2),它们交点N(2﹣,﹣1),从而kMN=﹣1也成立;由①②可知,直线MN的斜率为定值﹣1.

…(16分)点评:本题考查了椭圆的几何性质的应用问题,也考查了直线与椭圆的综合应用问题,考查了分类讨论思想的应用问题,是较难的题目21.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况,随机抽取了100位居民作为样本,就最近一年来网购消费金额(单位:千元),网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内,按[0,5],(5,10],(10,15],(15,20],(20,25],(25,30]分成6组,其频率分布直方图如图所示.(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数;(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”,补全下面的列联表,并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”;

男女合计网购迷

20

非网购迷45

合计

100

(3)调査显示,甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立,两人网购时间与次数也互不.影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式,所得数据如下表所示:

网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812

将频率视为概率,若甲、乙两人在下周内各自网购2次,记两人采用支付宝支付的次数之和为,求的数学期望.附:观测值公式:临界值表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案:(1)中位数

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