湖南省郴州市清和中学高三数学文期末试题含解析

湖南省郴州市清和中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆，直线与直线相交于点P，且P点在椭圆内恒成立，则椭圆C的离心率取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线过椭圆的焦点.然后判断出，判断出点的轨迹方程，根据恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率的取值范围.【详解】设是椭圆的焦点，所以.直线过点，直线过点，由于，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆.由于点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于，即，所以，所以双曲线的离心率，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.2.下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4参考答案：C【考点】复数的基本概念；命题的真假判断与应用．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．3.定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足，则当时，有

（

）

(A)．

(B)．

(C)．

(D)．参考答案：B略4.函数的图象是 （）A．

B． C．

D．参考答案：B略5.已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.?x∈R，f(－x)≠f(x)B.?x∈R，f(－x)≠－f(x)C.?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)参考答案：C【分析】利用偶函数的定义和全称命题的否定分析判断解答.【详解】∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.故选：C【点睛】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：C考点： 抛物线的应用．

专题： 计算题；压轴题．分析： 先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．解答： 解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选C．点评： 本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．7.

设,则使得为奇函数,且在上单调递减的的个数是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A

8.已知数列满足，，则当时,为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C9.已知双曲线C：的虚轴长为，右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线C的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（

）A

B

C

D参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.奇函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，f(1)=2,则f(3)=

。参考答案：﹣2略12.不等式的解集为

.参考答案：13.已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为．参考答案：1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．解答：解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．渐近线方程为y=±x，即y﹣x=0，所以焦点到其渐近线的距离d==1．故答案为：1．点评：本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．14.已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则运点的轨迹方程是__________________参考答案：答案：解析：：圆心，半径；：圆心，半径．设，由切线长相等得，．15.将函数的图像按向量（）平移，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为

.参考答案：由题意知，按平移，得到函数，即，此时函数为偶函数，所以,所以，所以当时，的最小值为。16.若不等式组表示的平面区域的面积为5，则的值为

参考答案：17.已知平面向量与垂直，则=

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知是正实数，设函数。（Ⅰ）设，求的单调区间；（Ⅱ）若存在，使且成立，求的取值范围。参考答案：

（iii）当，即时，单调递减。当时恒成立

综上所述，

略19.已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线的离心率(Ⅰ)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如图，已知过点的直线：与过点的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求的面积。参考答案：（1）设C的标准方程为在由题意，因此，则曲线C的标准方程为，曲线C的渐近线方程为。（2）解法一：由题意点在直线，因此有故点M,N均在直线上，因此直线MN的方程为，设G,H分别是直线MN与渐近线，由方程组解得，设MN与轴的交点为,则在直线中令，得（易得），注意到，得解法二：设，由方程组得，因为，则直线MN的斜率，故直线MN的方程为注意到因此直线MN的方程为下同解法一，20.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=与椭圆E相交于A，B两点，AB=2，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．参考答案：解：（1）因为e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；…（2分）故椭圆方程为+=1；由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3；故a=，b=；

…（5分）（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；从而k1?kCB=?====﹣，所以kCB=﹣；

…（8分）同理kDB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；

…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1；

…（16分）方法二：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2；显然k1≠k2；直线AC的方程y﹣1=k1（x﹣2），即y=k1x+（1﹣2k1）；由得（1+2k12）x2+4k1（1﹣2k1）x+2（4k12﹣4k1﹣2）=0；设点C的坐标为（x1，y1），则2?x1=，从而x1=；所以C（，）；又B（﹣2，﹣1），所以kBC==﹣；

…（8分）所以直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；又直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；

…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，则由①知kDB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．

…（16分）考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据椭圆的几何性质，利用离心率e以及AB的长，求出a、b的值；（2）方法一：结合椭圆E的方程，求出A、B的坐标，讨论：①CA，CB，DA，DB斜率都存在时，利用斜率的关系，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出M、N的坐标，计算kMN的值；②CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，求出M、N的坐标，计算kMN的值；从而得出正确的结论．方法二：利用椭圆E的方程，求出A、B的坐标，讨论：①CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线的斜率，由直线与椭圆联立，求出M、N点的坐标，计算kMN的值；②CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，求出M、N点的坐标，计算kMN的值，即可得出正确的结论．解答：解：（1）因为e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；…（2分）故椭圆方程为+=1；由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3；故a=，b=；

…（5分）（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；从而k1?kCB=?====﹣，所以kCB=﹣；

…（8分）同理kDB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；

…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1；

…（16分）方法二：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2；显然k1≠k2；直线AC的方程y﹣1=k1（x﹣2），即y=k1x+（1﹣2k1）；由得（1+2k12）x2+4k1（1﹣2k1）x+2（4k12﹣4k1﹣2）=0；设点C的坐标为（x1，y1），则2?x1=，从而x1=；所以C（，）；又B（﹣2，﹣1），所以kBC==﹣；

…（8分）所以直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；又直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；

…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，则由①知kDB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．

…（16分）点评：本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的综合应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是较难的题目21.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；

男女合计网购迷

20

非网购迷45

合计

100

（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不.影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：

网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812

将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.附：观测值公式：临界值表：0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：(1)中位数