河南省商丘市群星中学高三数学文上学期摸底试题含解析

河南省商丘市群星中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设变量x、y满足，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．7 B．8 C．22 D．23参考答案：A考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+3y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点C时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即C（2，1），此时zmin=2×2+3×1=7，故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键2.已知复数，则的虚部为（）A．﹣3 B．3 C．3i D．﹣3i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得后得答案．【解答】解：由=，得，∴的虚部为3．故选：B．3.已知f(x)＝x3－3x＋m在区间[0,2]上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则实数m的取值范围是(

)A.(6，＋∞)

B.(5，＋∞)C.(4，＋∞)D.(3，＋∞)参考答案：A略4.已知，且，则A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】同角三角函数基本关系；和差角公式

C2

C5

C6【答案解析】A

解析：，，

，

根据同角三角函数的基本关系式可得：

故选：A【思路点拨】利用和角的正切公式，化简可求的值，几何已知角是范围和同角三角函数基本关系式可求出，化简所求式子，代入计算即可。5.从抛物线图像上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线焦点为，则的面积为

（

）A．10 B．8 C．6 D．4参考答案：A略6.已知复数z在复平面对应点为，则＝（

）A．1 B．－1 C． D．0参考答案：C根据题意可得，则＝．故选C．7.已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若； ②若；③若； ④若.其中正确命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：D略8.已知集合，，则（A）

（B）

（C）（D）参考答案：C因为，所以，选C.9.已知α，β为不重合的两个平面，直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的(

)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；数形结合；数形结合法；简易逻辑．【分析】利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者；容易判断出后者推不出前者；利用各种条件的定义得到选项．【解答】解：∵平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直∴直线m?α，那么“m⊥β”成立时，一定有“α⊥β”成立反之，直线m?α，若“α⊥β”不一定有“m⊥β”成立所以直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查平面垂直的判定定理、考查各种条件的定义并利用定义如何判定一个命题是另一个命题的什么条件．10.

已知抛物线C：与经过A（0，1），B（2，3）两点的线段AB有公共点，则m的取值范围是（）A．，[3，

B．[3，C．，D．[-1，3]参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某几何体的一条棱长为3，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为2的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为

。参考答案：略12.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则△ABC最大的余弦值为

．参考答案：由题设三边长分别为:a,,2a,且2a为最大边,所对的角为,

由余弦定理得:

13.若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．参考答案：[3，+∞）考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}?B，建立关于a的不等式组，解之从而确定a的取值范围．解答：解：|x﹣1|＜a?1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜00＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）点评：本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．14.已知等比数列的前项和为，若，则=

参考答案：315.已知平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则k= ．参考答案：考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量垂直的条件：数量积为0，由数量积的坐标表示，解方程即可得到k．解答： 解：平面向量=（1，2），=（1，k2﹣1），若⊥，则=0，即1+2（k2﹣1）=0，解得，k=．故答案为：．点评：本题考查平面向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．16.右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图．那么甲、乙两人得分的平均分

（填<,>,=）参考答案：<17.若向量满足，则向量与的夹角等于

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知函数有最小值．(1）求实常数的取值范围；(2）设为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式．参考答案：（1）所以，当时，有最小值，(2）由为奇函数，有，得．设，则，由为奇函数，得．所以，19.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=．①求的值．②若，求△ABC的面积S的最大值．参考答案：【考点】解三角形．【分析】①根据=﹣，利用诱导公式cos（﹣α）=sinα化简所求式子的第一项，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosA的式子，将cosA的值代入即可求出值；②由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的面积公式S=bcsinA表示出三角形的面积，把sinA的值代入得到关于bc的关系式，要求S的最大值，只需求bc的最大值即可，方法为：根据余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入，并利用基本不等式化简，把a的值代入即可求出bc的最大值，进而得到面积S的最大值．【解答】解：①∵cosA=，∴==；②，∴，，∴，，∴，．20.设函数(为自然对数的底数），.（1）证明：当时，没有零点；（2）若当时，恒成立，求的取值范围.参考答案：（1）解法一：∵，∴.令,解得；令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增. ∴.当时，，∴的图象恒在轴上方，∴没有零点.解法二：由得，令，，则没有零点，可以看作函数与的图象无交点， 设直线切于点，则，解得，∴，代入得，又，∴直线与曲线无交点，即没有零点. （2）当时，，即，∴，即.令，则.当时，恒成立，令，解得；令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴.∴的取值范围是.21.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望E；（2）求恰好得到n分的概率．参考答案：（1）所抛5次得分的概率为P(＝i)=

(i=5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：5678910P

E==(分).

……5分（2）令pn表示恰好得到n分的概率.不出现n分的唯一情况是得到n－1分以后再掷出一次反面.因为“不出现n分”的概率是1－pn，“恰好得到n－1分”的概率是pn－1，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有1－pn=pn－1，

……………7分即pn－=－.

于是是以p1－=－=－为首项，以－为公比的等比数列.所以pn－=－，即pn＝.答：恰好得到n分的概率是.

…………10分略22.（本小题满分13分）已知函数定义在上，对任意的，，且.（I）求，并证明：；（II）若单调，且.设向量，，对任意，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算；抽象函数及其应用；三角函数中的恒等变换应用．菁C7F3【答案解析】（I）见解析；（II）。解析：（I）令得，又∵，，

2分由得=，∵，∴.

5分（II）∵，且是单调函数，∴是增函数.

6分而，∴由，得，又∵因为是增函数，∴恒成立，.即.

8分令，得

(﹡).∵，∴，即.令，

10分①当，即时，只需，(﹡)成立，∴，解得；

11分②当，即时，只需，(﹡)成立，∴，解得，∴.