广东省汕头市澄海县立中学高三数学文下学期摸底试题含解析

广东省汕头市澄海县立中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某四面体的三视图如图所示，且四个顶点都在一个球面上，则球面的表面积为（）A． B．5π C．7π D．参考答案：D【考点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图想象出空间几何体，进而求出几何体外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．【解答】解：该几何体的底面是边长为1的正三角形，侧棱垂直于底面，长度为，设球心到底面中心的距离为d，球的半径为r，则∵正三角形的外接圆的半径为，∴r2=（）2+=，∴球面的表面积为4πr2=．故选：D．【点评】本题考查了学生的空间想象力，考查了由三视图得到直观图，其中几何体的形状判断是解答的关键，属于中档题．2.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是锐角三角形，则存在过点A的平面（）A．与直线BC和直线A1B1都平行B．与直线BC和直线A1B1都垂直C．与直线BC平行且直线A1B1垂直D．与直线BC和直线A1B1所成角相等参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，过点A与直线A1B1平行的平面经过B，与直线BC相交，不正确；对于B，过点A与直线BC垂直的平面存在，则CB⊥AB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确对于C，过点A与直线BC平行且直线A1B1垂直，则CB⊥AB，与底面是锐角三角形矛盾，不正确；对于D，存在过点A与BC中点的平面，与直线BC和直线AB所成角相等，∴与直线BC和直线A1B1所成角相等，正确．故选：D．【点评】本题考查空间线线、线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．24π B．6π C．4π D．2π参考答案：B【考点】球内接多面体．【分析】由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积【解答】几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R=，R=所以外接球的表面积为：4πR2=6π．故选：B4.过点P（1，2）作直线，使直线与点M（2，3）和点N（4，–5）距离相等，则直线的方程为

（

）

A．

B．或C．

D．或参考答案：D略5.若，满足约束条件，且满足，则的最大值是(

)A.1 B. C. D.4参考答案：C如图2可得，，则，故选C．6.设函数有两个极值点，且，则

A．

B.C.

D.

参考答案：C7.对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下x1234y4.5432.5根据表，利用最小二乘法得到它的回归直线方程为（）A．y=﹣0.7x+5.20 B．y=﹣0.7x+4.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.25参考答案：D【考点】线性回归方程．【分析】由表可得样本中心为（2.5，3.5），代入检验可得结论．【解答】解：由表可得样本中心为（2.5，3.5），代入检验可得y=﹣0.7x+5.25．故选D．【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．8.对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于(

) A．1 B．1.5 C．2 D．2.5参考答案：B考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程求出a．解答： 解：∵==5，==54∴这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a，∴54=10.5×5+a，∴a=1.5，故选：B．点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．9.用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为A．B．C．D．参考答案：B10.若集合A＝{﹣1,0,1,2,3,5}，集合B＝{2,3,4,5,6,7}，则集合A∩B等于（

）A.{2} B.{2，3} C.{2，3，5} D.{2，3，5，7}参考答案：C【分析】根据集合的交运算即可求得结果.【详解】因为A＝{﹣1,0,1,2,3,5}，B＝{2,3,4,5,6,7}，∴A∩B＝{2,3,5}．故选：C．【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的三边长满足，则的取值范围是

；参考答案：略12.以a、b、c依次表示方程2x＋x＝1、2x＋x＝2、3x＋x＝2的解，则a、b、c的大小关系为________．参考答案：a<c<b13.函数是上的单调函数，则的取值范围为

.参考答案：14.在等比数列中，，，令，则取最大值时，的所有可能的取值应该是

。参考答案：3和515.已知=则_____参考答案：402416.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若其渐近线与抛物线的准线围成的三角形面积为，则此双曲线的离心率等于

．参考答案：试题分析：抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点分别为，所以对应的三角形的面积为，所以该双曲线为等轴双曲线，故其离心率为.考点：双曲线的离心率.17.已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：因为函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，所以2﹣a+3=0，所以a=5．所以f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），即f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2），所以偶函数f（x）在[﹣3，0]上单调递增，而﹣m2﹣1＜0，﹣m2+2m﹣2=﹣（m﹣1）2﹣1＜0，所以由f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2）得，解得．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数．（1）求函数的零点；（2）当时，求证：在区间上单调递减；（3）若对任意的正实数，总存在，使得，求实数的取值范围．参考答案：（1）①当时，函数的零点为；②当时，函数的零点是；③当时，函数无零点；（2）当时，，令任取，且，则因为，，所以，，从而即故在区间上的单调递减当时，即当时，在区间上单调递减；（3）对任意的正实数，存在使得，即，当时，即在区间上单调递减，在区间上单调递增；所以，又由于，，所以．19.（14分）已知函数f（x）=alnx﹣，g（x）=ex（其中e为自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间（0，1）内是增函数，求实数a的取值范围；（2）当b＞0时，函数g（x）的图象C上有两点P（b，eb）、Q（﹣b，e﹣b），过点P、Q作图象C的切线分别记为l1、l2，设l1与l2的交点为M（x0，y0），证明：x0＞0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求出函数的导数，得到关于a的不等式，求出a的最小值即可；（2）先求出导函数，求出切线方程，构造出新函数h（b），通过讨论h（b）的单调性，从而证出结论．【解答】解：（1）∵f（x）=alnx+﹣1，∴f′（x）=，若函数f（x）在区间（0，1）内是增函数，则a（x+1）2﹣2x≥0，∴a≥=，∴a≥；（2）∵g′（x）=ex，∴g（b）=g′（b）=eb，∴l1：y=eb（x﹣b）+eb…①，g（﹣b）=g′（﹣b）=e﹣b，∴l2：y=e﹣b（x+b）+e﹣b…②，由①②得：eb（x﹣b）+eb=e﹣b（x+b）+e﹣b，两边同乘以eb得：e2b（x﹣b）+e2b=x+b+1，∴（e2b﹣1）x=b?e2b﹣e2b+b+1，∴x0=，分母e2b﹣1＞0，令h（b）=be2b﹣e2b+b+1，∴h′（b）=2be2b﹣e2b+1，∴h″（b）=4be2b+1＞0，∴h′（b）min→h′（0）→0+，∴h（b）min→h（0）→b＞0，∴x0＞0．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，第一问表示出关于a的不等式是解题的关键，第二问中构造出新函数是解题的关键，本题有一定的难度．20.（本小题满分10分）求函数在的最大值与最小值.参考答案：解：由题知

f'（x）=

……………2分

令f'（x）=0

则x=1

……………4分列x

f'（x）

f(x)的表如图示

……………8分

由图知：f(x)max=3

f(x)min=-8

……………10分21.(本小题满分12分)在四棱锥P-ABCD中，，.(Ⅰ)若点E为PC的中点，求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)当平面PBD⊥平面ABCD时，求二面角C-PD-B的余弦值.

参考答案：(Ⅰ)取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵为的中点，为的中点，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.

…………5分

(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.∵平面平面，，∴平面，，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.设二面角的大小为，则.………12分

22.已知等差数列{an}满足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn；（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{bn}的前三项，从而可得（2+d）2=2（4+2d），根据an+1＞an，可确定公差的值，从而可求数列{an}的通项，进而可得公比q，故可求{bn}的通项公式（Ⅱ）表示出，利用错位相减法求和，即可求得c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比，a1=1．由题可知，a1=1，a2=1+