【一阶常系数线性齐次方程组解法中的应用综述1900字】

一阶常系数线性齐次方程组解法中的应用综述对于常系数线性齐次方程组dYdx=AY(其中A是n×n实常数矩阵，借助于线性代数中若尔当（Jordan）标准型理论或矩阵指数，对任一n阶方阵A，恒存在可逆的n阶方阵T，使得T−1AT为若尔当标准型.于是对常系数齐次线性方程组（3.1）就可以作非奇异线Y=TZ（3.2）其中T=（tij）（i,j=1,2,⋯,n），detT≠0,将方程组（3.1）化为dZdx=T−1ATZ我们知道，若尔当标准型T−1det(A-λE)=a11−λa的特征根的重数有关.3.1矩阵A的特征根均是单根的情形设特征根为λ1,λ2,⋯方程组(3.1)变为dz1dxdz2dx易见方程组(3.4)有个解Z把这n个解代回变换(Y其中Ti是矩阵T的第i个列向量，它恰好是矩阵A关于特征根λi的特征向量.从而可由Y1(x)，Y2(x)，定理3.1[4]若方程组(3.1)的系数矩阵A的n个特征根λ1,λ2,⋯λn彼Y是方程组(3.1)例3REF_Ref71640297\r\h[4]求解方程组dxdt=3x−y+zdy解方程的系数矩阵是A=特征方程是det(A−λE)=即λ所以矩阵A的特征根为λ1=2，Ta,b,c满足方程组(A−即a−b+c=0可得a=−c,b=0.令c=−1,就有a同理，可求出另两个特征根所对应的特征向量，就可以得到这三个特征根所对应的特征向量分别是T故方程组的通解是x3.2矩阵A的特征根有重根的情形由定理3.1，当方程组(3.1)的系数矩阵A的特征根是单根时，其基本解组的求解问题，归结为求这些特征根所对应的特征向量.然而，当矩阵A的特征方程有重根时，定理3.1不一定完全适用，这是因为，若λi是A的kiA−所决定的线性无关特征向量的个数ri,ri一般不会超过特征根λi的重数ki,若ri=ki，那么矩阵A对应的若尔当标准型将呈现对角阵，其求解方法与单根情形相同.若ri<ki，由线性代数的知识，此时也可以求出kT其中未标出的元均为零元，而Ji=λ是ki阶若尔当块，k1,+k2+⋯+km=n,λ1于是，在变换(3.2)下方程组(3.1)可化简为如下形式:dYdx=也就是可以把它分解成m个可以求解的小方程组.定理3.2[4]设λ1,λ2,⋯,λm是矩阵A的m个不同的特征根，它们的重数分别为k1,k2Y1x=P的线性无关解，这里向量Pj(x)(j=1,2,⋯,kj)的每一个分ki−1的多项式.取遍所有的λi(i定理3.2告诉我们当A的特征方程有重根时，线性方程组(3.1)的基本解组形式，同时我们也知道了相关求解方法，但这种求解方法比较繁琐,在实际求解时我们常用下面的定理3.3REF_Ref71640297\r\h[4]如果λj是(3.1)的kj重特征根，则方程组(3.1)有kj形如Yx=(R0的线性无关解，其中向量A−所确定.取遍所有的λj(j=1,2,⋯,m)，则得到(例2REF_Ref71640297\r\h[4]试求方程组dy1dx解它的系数矩阵是A=特征方程是(特征根为λ1Y下面求λ2=λY(x)=(并且R0，R(由于(那么由(A+E−1将上述两个向量分别代入(A+Eλ1=λY最后得到通解Y(x)=通过上述描述，我们可知在一阶