四川省成都市铁路工程学校高三数学文下学期期末试卷含解析

四川省成都市铁路工程学校高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知曲线（为参数），点P为在x轴、y轴上截距分别为8，-4的直线上的一个动点，过点P向曲线引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB恒过点（

）A.(2,0) B. C.(1,－1) D.参考答案：D【分析】根据条件转化得出曲线C和直线的直角坐标方程，根据题意设的坐标，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减表示出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标．【详解】解：是直线的任一点，设，曲线（为参数），即圆，由题意知，，，则点在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，且，圆的方程：①，又②，②-①得，，即公共弦所在的直线方程：即，由解得：直线恒过定点，故选.【点睛】本题考查了参数方程，圆的切线性质，圆和圆的位置关系，公共弦所在直线求法以及直线过定点问题，属于中档题．2.如果实数满足不等式组，目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（

）A.1

B.2

C.3

D.4

参考答案：B略3.设直线与平面所成角的大小范围为集合，二面角的平面角大小范围为集合，异面直线所成角的大小范围为集合，则的关系为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.等比数列的前项和，若对任意正整数等式成立，则的值为（

）A．-3

B．1

C.-3或1

D．1或3参考答案：C5.曲线在点处的切线方程是

A．

B.C.

D.参考答案：B即切线的斜率为-ln2.切点为，所以②③④切线方程为，即，选B.6.下列函数的图象，经过平移或翻折后不能与函数的图象重合的函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C7.已知，是两个单位向量，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A设则，，所以当且仅当时，取到最大值5.,所以的最大值为,故选A.

8.在ABC中，若+-=-ac,那么B等于（

）A,

B,

C,

D,参考答案：C略9.在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：A．10.过抛物线焦点的直线交该抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则

A.14

B．12

C.l0

D.8参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数、满足条件则的最大值为

.参考答案：答案：8解析：画出可行域知在两直线交点（2，3）处取得最大值812.已知函数若，则

.参考答案：13.如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，……，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为

.参考答案：314.等差数列{an}中，，，（），则数列{an}的公差为________参考答案：.【分析】设等差数列的公差为，由，可计算出的值，由此可得出数列的公差.【详解】设等差数列的公差为，则，又，，则，，即数列的公差为，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，对于等差数列基本量的计算，通常利用首项和公差建立方程组求解，考查计算能力，属于中等题.15.偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x﹣2，则y=f（x）的解析式为

．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】先根据f（x）的图象经过点（0，1）求出e，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可．【解答】解：f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象经过点（0，1），则e=1，∵偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e，故f（﹣x）=f（x）恒成立，则b=d=0即f（x）=ax4+cx2+ef'（x）=4ax3+2cx，k=f'（1）=4a+2c=1切点为（1，﹣1），则f（x）=ax4+cx2+1的图象经过点（1，﹣1），得a+c+1=﹣1，得a=，c=﹣f（x）=﹣2+1故答案为：f（x）=﹣2+1【点评】本题考查偶函数的性质，导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．16.已知双曲线，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN．若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，则该双曲线的离心率为．参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得M，Q关于原点对称，即可得到kMN?kQN=，分别求出相对应的斜率，再根据离心率公式即可求出【解答】解：由题意可知：M，Q关于原点对称，∴kMN?kQN=，∵kMN=﹣，kQN=﹣，∴=1，∴e===故答案为：．17.已知函数，是区间内任意两个实数，则事件发生的概率为___________．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式；（2）若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．由切点在直线上可得，解得．所以函数的解析式为．(6分)（Ⅱ）解：．当时，令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：＋0－－0＋↗极大值↘↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得．(6分)19.已知函数f（x）=sin2x+sin2x．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，△ABC的面积为3，求a的最小值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可得解函数f（x）的单调递减区间．（2）由f（）=，化简可得：sin（A﹣）=，由A∈（0，π），可得A﹣的范围，从而可求A的值，利用三角形面积公式可求bc=12，利用余弦定理，基本不等式即可解得a的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+sin2x=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）∵f（）=，即：sin（2×﹣）+=，化简可得：sin（A﹣）=，又∵A∈（0，π），可得：A﹣∈（﹣，），∴A﹣=，解得：A=，∵S△ABC=bcsinA=bc=3，解得：bc=12，∴a==≥=2．（当且仅当b=c时等号成立）．故a的最小值为2．20.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．参考答案：（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.【分析】解：解法一：（1）过A作，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.因为PB⊥AB，所以.所以.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P1为l上一点，且，由（1）知，，此时；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，?3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（?4，?3），直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.所以P（?13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（?4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P1为l上一点，且，由（1）知，，此时；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（?13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

21.已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）设数列{bn}满足bn=，求证：b1+b2+…+bn＜．参考答案：考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1．（2）当n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），从而得到数列{an}是首项a1=5，公差为6的等差数列，由此能求出数列{an}的前n项和Sn．（3）由=（），由此能证明b1+b2+…+bn＜．解答： 解：（1）∵Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1