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文档简介
对数函数及其性质材料1:马王堆女尸千年不腐之谜:一九七二年,马王堆考古发现震惊世界,专家发掘西汉辛追遗尸时,形体完整,全身润泽,皮肤仍有弹性,关节还可以活动,骨质比现在六十岁的正常人还好,是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道,世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成,譬如沙漠环境,这类干尸虽然肌肤未腐,是因为干燥不利细菌繁殖,但关节和一般人死后一样,是僵硬的,而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年,而且关节可以活动。人们最关注有两个问题,第一:怎么鉴定尸体的年份?第二:是什么环境使尸体未腐?其中第一个问题就需要用数学知识来帮助解决(数学是一门工具学科,任何领域都需要数学)。那么,考古学家是怎么计算出古长沙丞相夫人辛追“沉睡”近2200年?考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p,利用估算尸体出土的年代。不难发现:对每一个碳14的含量的取值,通过这个对应关系,生物死亡年数t都有唯一的值与之对应,从而t是P的函数;Pt215730log=材料2:如图,某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到细胞1万个,10万个…
不难发现:分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即
定义:函数,且叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)。,对数函数判断:以下函数是对数函数的是()1.y=log2(3x-2)2.y=log(x-1)x3.y=log1/3x24.y=lnx5.练习4
例1:求下列函数的定义域:(1)y=logax2(2)y=loga(4-x)解:(1)因为x2>0,所以x≠,即函数y=logax2的定义域为
-(0,+
(2)因为4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为(-4)习题讲解例1中求定义域时应注意:对数的真数大于0,底数大于0且不等于1;使式子符合实际背景;对含有字母的式子要注意分类讨论。探究:对数函数:y=logax(a>0,且a≠1)图象与性质作y=log2x与y=logx图象列表描点连线21-1-21240yx3思考这两个函数的图象有什么关系呢?关于x轴对称探究:对数函数:y=logax(a>0,且a≠1)图象与性质
判断依据?返回再来一遍问题:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法吗?研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.类比指数函数图象和性质的研究,研究对数函数的性质并填写如下表格:
一般地,对数函数y=logax在a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示:
(5)函数值变化:(0,+∞)R过点(1,0),即x=1时y=0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数xo(1,0)x=1y=logx(a>1)ayxyx=1(1,0)y=logx(0<a<1)ao当0<x<1时,y<0当x>1时,y>0当0<x<1时,y>0当x>1时,y<0例2比较下列各组数中两个值的大小:
⑴log23.4,log28.5⑵log0.31.8,log0.32.7⑶loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1)解⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2>1所以它在(0,+∞)上是增函数,且3.4<8.5,于是log23.4<log28.5⑵考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数0.3,即0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,且1.8<
2.7,于是log0.31.8>log0.32.7
对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,且5.1<
5.9,于是loga5.1<loga5.9当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,且5.1<
5.9,于是loga5.1>loga5.9⑶loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1)注:例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
训练:
1.比较下列各题中两变个值的大小
(1)lg6与lg8(2)
2.已知下列不等式,比较正数m,n的大小
两个同底数的对数比较大小的一般步骤:①确定所要考查的对数函数;②根据对数底数判断对数函数增减性;③比较真数大小,然后利用对数函数的
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