江苏省扬州市高邮甸垛中学高三数学理摸底试卷含解析

江苏省扬州市高邮甸垛中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向量，满足，则（）A．6

B．5

C．4

D．3参考答案：C2.一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为A.π+45

B.2π+45 C.π+54 D.2π+54参考答案：C3.已知复数,则的实部为A．l B．2 C．-2 D．-1参考答案：D略4.执行下面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 (

)A．120

B．720

C．1440

D．5040

参考答案：【知识点】算法与程序框图L1B开始运行时，p=1，k=1＜6，

经过第一次循环得到，k=2，p=2，k＜6

经过第二次循环得到k=3，p=6，k＜6

经过第三次循环得到k=4，p=4×6=24，k＜6，

经过第四次循环得到，k=5，p=5×24=120，k＜6，

经过第五次循环得到k=6，p=6×12=720，

k=6＜6不满足判断框中的条件，执行输出，

故输出结果为720．【思路点拨】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第五次不满足判断框中的条件，执行输出结果．5.函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.设函数是偶函数，当时，，则}等于…（

）A．或

B．或C．或

D．或参考答案：D，当时，由得，所以函数的解集为，所以将函数向右平移2个单位，得到函数的图象，所以不等式的解集为或,选D.7.函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：D【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=elnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为(A)120

(B)100

(C)80

(D)60参考答案：B9.复数等于

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.已知向量，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在等腰梯形ABCD中，AD=BC=AB=DC=2，点E，F分别为线段AD，BC的三等分点，O为DC的中点，则=__________．参考答案：以O为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，连接BO，易证得为等边三角形，所以，则所以，所以12.当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是

参考答案：略13.已知函数f（x）=ex﹣e﹣x，下列命题正确的有

．（写出所有正确命题的编号）①f（x）是奇函数；②f（x）在R上是单调递增函数；③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．参考答案：①②④【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用．【分析】根据题意，依次分析4个命题，对于①、由奇函数的定义分析可得①正确；对于②、对函数f（x）=ex﹣e﹣x求导，分析可得f′（x）＞0，分析可得②正确；对于③、g（x）=ex﹣e﹣x﹣x2﹣2x，分析可得g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x有一根x=0，进而利用二分法分析可得g（x）有一根在（3，4）之间，即方程f（x）=x2+2x至少有2跟，故③错误，对于④、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得④正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、f（x）=ex﹣e﹣x，定义域是R，且f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣f（x），f（x）是奇函数；故①正确；对于②、若f（x）=ex﹣e﹣x，则f′（x）=ex+e﹣x＞0，故f（x）在R递增；故②正确；对于③、f（x）=x2+2x，令g（x）=ex﹣e﹣x﹣x2﹣2x，令x=0可得，g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x有一根x=0，g（3）=e3﹣﹣13＜0，g（4）=e4﹣﹣20＞0，则方程f（x）=x2+2x有一根在（3，4）之间，故③错误；对于④、如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，即ex﹣e﹣x﹣kx＞0恒成立，令h（x）=ex﹣e﹣x﹣kx，且h（0）=0，若h（x）＞0恒成立，则必有h′（x）=ex+e﹣x﹣k＞0恒成立，若ex+e﹣x﹣k＞0，即k＜ex+e﹣x=ex+恒成立，而ex+≥2，若有k＜2，故④正确；综合可得：①②④正确；故答案为：①②④．14.已知命题p：，x-1>lnx．命题q：，，则p：

▲

，命题p∧（q）是

▲

（填真命题或假命题）。参考答案：，真命题。15.已知函数f（x）=lnx，0<a<b<c<1，则，，的大小关系是

参考答案：16.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2﹣a5=0，则=_________．参考答案：略17.已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点，离心率，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当时，求直线PQ的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由。参考答案：19.（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x+，其中a＞0（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上存在极值点，求a的取值范围；（Ⅱ）设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若f（x2）﹣f（x1）存在最大值，记为M（a）．则a≤e+时，M（a）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，得到a=x+在x∈（2，+∞）上有解，由y=x+在x∈（2，+∞）上递增，得x+∈（，+∞），求出a的范围即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，得到[f（x2）﹣f（x1）]max=f（n）﹣f（m），求出M（a）=f（n）﹣f（m）=aln+（m﹣n）+（﹣），根据函数的单调性求出M（a）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣1﹣=，x∈（0，+∞），由题意得，x2﹣ax+1=0在x∈（2，+∞）上有根（不为重根），即a=x+在x∈（2，+∞）上有解，由y=x+在x∈（2，+∞）上递增，得x+∈（，+∞），检验，a＞时，f（x）在x∈（2，+∞）上存在极值点，∴a∈（，+∞）；（Ⅱ）若0＜a≤2，∵f′（x）=在（0，+∞）上满足f′（x）≤0，∴f（x）在（0，+∞）上递减，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，∴f（x2）﹣f（x1）不存在最大值，则a＞2；∴方程x2﹣ax+1=0有2个不相等的正实数根，令其为m，n，且不妨设0＜m＜1＜n，则，f（x）在（0，m）递减，在（m，n）递增，在（n，+∞）递减，对任意x1∈（0，1），有f（x1）≥f（m），对任意x2∈（1，+∞），有f（x2）≤f（n），∴[f（x2）﹣f（x1）]max=f（n）﹣f（m），∴M（a）=f（n）﹣f（m）=aln+（m﹣n）+（﹣），将a=m+n=+n，m=代入上式，消去a，m得：M（a）=2[（+n）lnn+（﹣n）]，∵2＜a≤e+，∴+n≤e+，n＞1，由y=x+在x∈（1，+∞）递增，得n∈（1，e]，设h（x）=2（+x）lnx+2（﹣x），x∈（1，e]，h′（x）=2（1﹣）lnx，x∈（1，e]，∴h′（x）＞0，即h（x）在（1，e]递增，∴[h（x）]max=h（e）=，∴M（a）存在最大值为．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知双曲线（其中）.（1）若定点到双曲线上的点的最近距离为，求的值；（2）若过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，其中，是双曲线的右焦点.求△的面积.参考答案：21.（12分）已知椭圆M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其短轴长为2，离心率为．点P（x0，y0）为椭圆M内一定点（不在坐标轴上），过点P的两直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且AB∥CD．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）证明：直线AB的斜率为定值．参考答案：（Ⅰ）由题意设的方程为：，则，即，又，解得.所以椭圆的标准方程为.……………………（4分）（Ⅱ）设，，则，所以，因为点在椭圆上，所以，即，整理得，又点在椭圆上，所以，从而可得，①又因为，故有，同理可得，②②①得，.因为点不在坐标轴上，所以，又易知不与坐标轴平行，所以直线的斜率，为定值.………………（12分）22.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．参考答案：(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0