考研数学三(线性代数)模拟试卷72(题后含答案及解析)

考研数学三（线性代数）模拟试卷72(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设A和B都是n阶矩阵，则必有（）A．|A+B|=|A|+|B|B．AB=BAC．|AB|=|BA|D．（A+B）—1=A—1+B—1正确答案：C解析：因为|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|，所以C正确。取B=—A，则|A+B|=0，而|A|+|B|不一定为零，故A错误。由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确。因（A+B）（A—1+B—1）≠E，故D也不正确。所以应选C。知识模块：线性代数2．设A是三阶矩阵，其中a11≠0，Aij=aij（i=1，2，3，j=1，2，3），则|2AT|=（）A．0B．2C．4D．8正确答案：D解析：|2AT|=23|AT|=8|A|，且由已知故A*=AT。又由AA*=AAT=|A|E，两边取行列式，得|AAT|=|A|2=||A|E|=|A|3，即|A|2（|A|—1）=0，又a11≠0，则|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132＞0，故|A|=1，从而|2AT|=8，所以应选D。知识模块：线性代数3．设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若AB=E，则（）A．r（A）=m，r（B）=mB．r（A）=m，r（B）=nC．r（A）=n，r（B）=mD．r（A）=n，r（B）=n正确答案：A解析：因为AB=E，所以r（AB）=m。又r（AB）=m≤min{r（A），r（B）}，即r（A）≥m，r（B）≥m，而r（A）≤m，r（B）≤m，所以r（A）=m，r（B）=m。故选A。知识模块：线性代数4．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）A．α1—α2，α2—α3，α3—α1B．α1—α2，α2+α3，α3+α1C．α1+α2，3α1—5α2，5α1+9α2D．α1+α2，2α1+3α2+4α3，α1—α2—2α3正确答案：D解析：通过已知选项可知（α1—α2）+（α2—α3）+（α3—α1）=0，（α1—α2）+（α2+α3）—（α3+α1）=0，因此选项A、B中的向量组均线性相关。对于选项C，可设β1=α1+α2，β2=3α1—5α2，β3=5α1+9α2，即β1，β2，β3三个向量可由α1，α2两个向量线性表示，所以β1，β2，β3必线性相关，即α1+α2，3α1—5α2，5α1+9α2必线性相关。因而用排除法可知应选D。知识模块：线性代数5．设A，B为n阶方阵，P，Q为n阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（）A．若B=AQ，则A的列向量组与B的列向量组等价B．若B=PA，则A的行向量组与B的行向量组等价C．若B=PAQ，则A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价D．若A的行（列）向量组与矩阵B的行（列）向量组等价，则矩阵A与B等价正确答案：C解析：将等式B=AQ中的A、B按列分块，设A=（α1，α2，…，αn），B=（β1，β2，…，βn），则有（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）表明向量组β1，β2，…，βn可由向量组α1，α2，…，αn线性表示。由于Q可逆，从而有A=BQ—1，即（α1，α2，…，αn）=（β1，β2，…，βn）Q—1，表明向量组α1，α2，…，αn可由向量组β1，β2，…，βn线性表示，因此这两个向量组等价，故选项A的命题正确。类似地，对于PA=B，将A与B按行分块可得出A与B的行向量组等价，从而选项B的命题正确。下例可表明选项C的命题不正确。但B的行（列）向量组与A的行（列）向量组不等价。对于选项D，若A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵A与B的秩相同，故矩阵A与B等价（两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等）。知识模块：线性代数6．已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么向量α1一α2，α1+α2一2α3，（α2一α1），α1一3α2+2α3中，是方程组Ax=0解向量的共有（）A．4B．3C．2D．1正确答案：A解析：由Aαi=b（i=1，2，3）有A（α1—α2）=Aα1—Aα2=b—b=0，A（α1+α2—2α3）=Aα1+Aα2—2Aα3=b+b—2b=0，A（α1—3α2+2α3）=Aα1—3Aα2+2Aα3=b—3b+2b=0，即α1一α2，α1+α2—2α3，（α2一α1），α1—3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解。所以应选A。知识模块：线性代数7．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是（）A．B．C．D．正确答案：B解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确。对于选项D，虽然β1—β2是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B。事实上，对于选项B，由于α1，α1—α2与α1，α2等价（显然它们能够互相线性表示），故α1，α1一α2也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确。知识模块：线性代数8．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有特征值（）A．B．C．D．正确答案：B解析：因为λ为A的非零特征值，所以λ2为A2的特征值，为（A2）—1的特征值。因此的特征值为3×所以应选B。知识模块：线性代数9．下列选项中矩阵A和B相似的是（）A．B．C．D．正确答案：C解析：选项A中，r（A）=1，r（B）=2，故A和B不相似。选项B中，tr（A）=9，tr（B）=6，故A和B不相似。选项D中，矩阵A的特征值为2，2，—3，而矩阵B的特征值为1，3，—3，故A和B不相似。由排除法可知应选C。事实上，在选项C中，矩阵A和B的特征值均为2，0，0。由于A和B均可相似对角化，也即A和B均相似于对角矩阵故由矩阵相似的传递性可知A和B相似。所以选C。知识模块：线性代数10．设A，B均为n阶实对称矩阵，若A与B合同，则（）A．A与B有相同的秩B．A与B有相同的特征值C．A与B有相同的特征向量D．A与B有相同的行列式正确答案：A解析：合同的矩阵也等价，故必有相同的秩，所以选A。知识模块：线性代数填空题11．已知三阶行列式正确答案：解析：结合行列式的性质：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即知识模块：线性代数12．已知A为三阶方阵，A2—A—2E=D，且0＜|A|＜5，则|A+2E|=________。正确答案：4解析：设A的特征值λi对应的特征向量是xi（xi≠0，i=1，2，3），则Axi=λxi。由A2—A—2E=0可知，特征向量xi满足（A2—A—2E）xi=0，从而有λi2一λi—2=0，解得λi=—1或λi=20再根据|A|=λ1λ2λ3及0＜|A|＜5可得，λ1=λ2=—1，λ3=2。由Axi=Axi可得（A+2E）xi=（λi+2）xi，即A+2E的特征值μi（i=1，2，3）满足μi=λi+2，所以μ1=μ2=1，μ3=4，故|A+2E|=1×1×4=4。知识模块：线性代数13．设且A，B，X满足（E—B—1A）TBTX=E，则X—1=________。正确答案：解析：由（E—B—1A）TBTX=E，得[B（E—B—1A）]TX=E，即（B—A）TX=E，因此X—1=（B—A）T=知识模块：线性代数14．设A是4×3矩阵，且A的秩r（A）=2，而则r（AB）________。正确答案：2解析：因为所以矩阵B可逆，因此r（AB）=r（A）=2。知识模块：线性代数15．设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r（A*）=________。正确答案：0解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得n—r（A）≥2，即r（A）≤3。又因为A是五阶矩阵，所以|A|的四阶子式一定全部为零，则代数余子式Aij恒为零，即A*=0，所以r（A*）=0。知识模块：线性代数16．设A为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的二维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为________。正确答案：1解析：根据题设条件，得A（α1，α2）=（Aα1，Aα2）=（α1，α2）记P=（α1，α2），因α1，α2线性无关，故P=（α1，α2）是可逆矩阵。由AP=可得P—1AP=则A与B相似，从而有相同的特征值。因为|λE—B|==λ（λ—1），所以A的非零特征值为1。知识模块：线性代数17．设α=（1，—1，a）T是A=的伴随矩阵A*的特征向量，其中r（A*）=3，则a=________。正确答案：—1解析：α是A*的特征向量，设对应于α的特征值为λ0，则有A*α=A*α，该等式两端同时左乘A，即得AA*α=|A|α=λ0Aα，即展开成方程组的形式为因为r（A*）=3，|A*|≠0，因此λ0≠0，根据方程组中的前两个等式，解得a=—1。知识模块：线性代数18．二次型f（x1，x2，x3）=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是________。正确答案：z12+z22一z32解析：二次型的矩阵所以矩阵A的特征值是2，6，—4，即正交变换下的二次型的标准形是2y12+6y12—4y32，因此其规范形是z12+z22一z32。知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．已知且AX+X+B+BA=0，求X2006。正确答案：由AX+X+B+BA=D可得（A+E）X=一B（E+A），而A+E可逆的，所以X=一（A+E）—1B（E+A），故X2006=（A+E）—1B2006（E+A）=（A+E）—1（E+A）=B。涉及知识点：线性代数20．设A=（α1，α2，α3）为三阶矩阵，且|A|=1。已知B=（α2，α1，2α3），求B*A。正确答案：根据题意可知B=（α1，α2，α3）其中所以|B|=|A|．|P|=—2。于是B*A=|B|．B—1．A=—2P—1．（A—1A）=—2P—1=涉及知识点：线性代数21．设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak—1α≠0。证明：向量组α，Aα，…，Ak—1α是线性无关的。正确答案：设有常数λ0，λ1，…，λk—1，使得λ0α+λ1Aα+…+λk—1Ak—1α=0，则有Ak—1（λ0α+λ1Aα+…+λk—1Ak—1α）=0，从而得到λ0Ak—1α=0．由题设Ak—1a≠0，所以λ0=0。类似地可以证明λ1=λ2=…=λk—1=0，因此向量组α，Aα，…，Ak—1α是线性无关的。涉及知识点：线性代数22．设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。正确答案：因为α1，α2线性无关，α1+b，α2+b线性相关，所以b≠0，且存在不全为零的常数k1，k2，使k1（a1+b）+k2（a2+b）=0，则有（k1+k2）b=—k1a1—k2a2。又因为a1，a2线性无关，若k1a1+k2a2=0，则k1=k2=0，这与k1，k2不全为零矛盾，于是有k1a1+k2a2≠0，（k1+k2）b≠0。综上k1+k2≠0，因此由（k1+k2）b=—ka1—k2a2得，k1，k2∈R，k1+k2≠0。涉及知识点：线性代数23．已知方程组有解，证明：方程组无解。正确答案：用A1，分别表示方程组（1）与（2）的系数矩阵和增广矩阵，则=A2T。已知方程组（1）有解，故r（A1）=。又由于（b1，b2，…，bm，1）不能由（a11，a21，…，am1，0），（a12，a22，…，am2，0），…，（a1n，a2n，…，amn，0）线性表示，所以所以方程组（2）无解。涉及知识点：线性代数24．已知三阶矩阵A的第一行是（a，b，c），a，b，c不全为零，矩阵B=（k为常数），且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。正确答案：由AB=0知，B的每一列均是Ax=0的解，且r（A）+r（B）≤3。（1）若k≠9，则r（B）=2，于是r（A）≤1，显然r（A）≥1，故r（A）=1。可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3–r（A）=2，矩阵B的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0的通解为：x=k1（1，2，3）T+k2（3，6，3）T，k1，k2为任意常数。（2）若k=9，则r（B）=1，从而1≤r（A）≤2。①若r（A）=2，则Ax=0的通解为：x=k．（1，2，3）T，k1为任意常数。②若r（A）=1，则Ax=0的同解方程组为：ax1+bx2+cx3=0，不妨设a≠0，则其通解为k1，k2为任意常数。涉及知识点：线性代数25．已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值。正确答案：因为方程组（2）中“方程个数＜未知数个数”，所以方程组（2）必有非零解。于是方程组（1）必有非零解，则（1）的系数行列式为0，即对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换，有则方程组（1）的通解是k（—1，—1，1）T。因为（—1，—1，1）T是方程组（2）的解，所以=1，c=2或b=0，c=1。当b=1，c=2时，方程组（2）为其通解是k（—1，—1，1）T，所以方程组（1）与（2）同解。当b=0，c=1时，方程组（2）为由于方程组（2）的系数矩阵的秩为1，而方程组（1）的系数矩阵的秩为2，故方程组（1）与（2）不同解，则b=0，c=1应舍去。综上，当a=2，b=1，c=2时，方程组（1）与（2）同解。涉及知识点：线性代数26．设A为正交矩阵，且|A|=—1，证明：λ=—1是A的特征值。正确答案：要证λ=—1是A的特征值，需证|A+E|=0。因为|A+E|=|A+ATA|=|（E+AT）A|=|E+AT||A|=一|A+E|，所以|A+E|=0，故λ=—1是A的特征值。涉及知识点：线性代数27．设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=—1，λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=（0，1，1）T，求A。正确答案：设对应于λ2=λ3=1的特征向量为ξ=（x1，x2，x3）T。由实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交得ξTξ2=0，即x2+x3=0，解得ξ2=（1，0，0）T，ξ3=（0，1，—1）T。又由A（ξ1，ξ2，ξ3）=（λ1ξ1，λ2ξ2，λ3ξ3），故有A=（λ1ξ1，λ2ξ2，λ3ξ3）（ξ1，ξ2，ξ3）—1涉及知识点：线性代数28．设三阶矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3对应的特征向量依次为α1=（1，1，1）T，α2=（1，2，4）T，α3=（1，3，9）T。（Ⅰ）将向量β=（1，1，3）T用α1，α2，α3线性表示；（Ⅱ）求ATβ。正确答案：（Ⅰ）设x1α1+x2α2+x3α3=β，即解得x1=2，x2=—2，x3=1，故β=2α1—2α2+α3。（Ⅱ）Aβ=